Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

10.5. MATHEMATISCHE ERGÄNZUNGEN 397
§ 1484 Betrachten wir auch hier ein Beispiel. Gegeben ist das Vektorfeld F ⃗ = (−y, x, 1), der
Stokes’sche Satz ist für eine auf der xy-Ebene liegende Halbkugel mit z = √ 16 − x 2 − y 2
zu verifizieren. Die Halbkugel, und damit auch der Kreis, der sich in der xy-Ebene bildet,
haben einen Radius von 4. Der Normalenvektor auf der Halbkugel ist damit gegeben als ⃗n =
(x, y, z)/4. Für das Linienintegral ist der Kreis in der xy-Ebene daher gegen den Uhrzeigersinn
zu umlaufen. In Parameterform lässt sich der Kreis schreiben als x = cos ϕ und y = sin ϕ mit
0 ≤ ϕ ≤ 2π. Damit erhalten wir für das Feld F ⃗ = (−4 sin ϕ, 4 cos ϕ, 1), für den Ortsvektor ⃗r =
(4 cos ϕ, 4 sin ϕ, 0) und für seine Ableitung nach dem Parameter ϕ d⃗r
dϕ
= (−2 sin ϕ, 2 cos ϕ, 0).
Die linke Seite von (10.22) wird damit
∮
LS = ⃗F · d⃗r ∮ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−4 sin ϕ −4 sin ϕ
dϕ dϕ = ⎝ 4 cos ϕ ⎠ · ⎝ 4 cos ϕ ⎠ dϕ
∮
1
∮
0
= (16 sin 2 ϕ + 16 cos 2 ϕ) dϕ = 16 dϕ = 32π .
Für die rechte Seite erhalten wir
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
RS =
∫2π
∫ 4
ϕ=0 ϱ=0
⎝ 0 0
4
⎠ ·
⎝ 0 0 ⎠ ϱ dϱ dϕ =
1
∫2π
∫ 4
ϕ=0 ϱ=0
10.5 Mathematische Ergänzungen
10.6 Anwendungsbeispiele
4 ϱ dϱ dϕ = 32π .
§ 1485 Linien- und (Ober-)Flächenintegral haben in der Physik vielfältige Anwendungen: die
Arbeit und der Fluss einer vektoriellen Größe durch eine (Ober-)Fläche sind die typischen
Anwendungen. Aber auch die Integralsätze werden in der Physik vielfältig verwendet, wie in
diesem Abschnitt an einigen Beispielen illustriert werden soll.
10.6.1 Kontinuitätsgleichung
§ 1486 Eine Anwendung des Gauß’schen Integralsatzes (10.19) ist die Formulierung der Kontinuitätsgleichung
Allgemein ändert sich eine Eigenschaft ε innerhalb eines Volumenelements
durch die Konvergenz des Flusses ⃗ C(ε) in dieses Volumen hinein sowie durch die Quellen und
Senken S(ε) innerhalb des Volumens:
∂ε
∂t + ∇ · ⃗C(ε) = S(ε) .
Dies ist die allgemeine Form einer Kontinuitätsgleichung, die auch auf beliebige physikalische
Größen ε, z.B. auf Masse, Ladung, Energie oder Impuls, angewendet werden kann.
§ 1487 Die einfachste Kontinuitätsgleichung ist die Erhaltung der Masse. Mit ϱ als der Dichte
und ⃗j = ϱ ⃗v als der Dichte des Massenstroms ergibt sich
∂ϱ
∂t + ∇(ϱ⃗u) = 0 bzw. ∂ϱ
∂t = −∇(ϱ⃗u) = −∇ ⃗j . (10.23)
S verschwindet, da es im Volumenelement keine Quellen oder Senken gibt.
§ 1488 Unter Verwendung von (4.12) lässt sich die Kontinuitätsgleichung (10.23) schreiben
als
dϱ
dt = ∂ϱ + ⃗v · ∇ϱ = −ϱ∇⃗v ,
∂t
d.h. die totale Änderung der Dichte in einem Volumenelement ist proportional der Divergenz
des Geschwindigkeitsfeldes.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007