Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

216 KAPITEL 6. KOMPLEXE ZAHLEN
Abbildung 6.4: Rügen’s Küstenlänge hängt vom verwendeten Maßstab ab; zwischen den
Abbildungen wird der Maßstab jeweils um einen Faktor 4 verringert. Abbildungen aus einem
älteren DLR Archiv (KOSMOS Satellit), für neuere Bilder und eigene Spielereien hilft Google-
Earth (http://earth.google.com/)
Ein dreidimensionales geometrisches Problem ist somit auf ein eindimensionales quaternionisches
Problem reduziert. In der Quantenmechanik sind Quaternionen ein gebräuchliches
Hilfsmittel.
§ 849 Nach den Quaternionen ist jedoch bald Schluss. Es gibt nur noch ein höher dimensionales
Zahlensystem, die Cayley Zahlen oder Oktonionen O. Wie der Name nahelegt, handelt
es sich um ein achtdimensionales System. Zwar gibt es auch hier noch ein inverses Element
der Multiplikation, jedoch verlieren wir neben dem Kommutativgesetz auch das Assoziativgesetz.
Zahlensysteme mit noch höherer Dimension gibt es nicht: von den vier grundlegenden
Eigenschaften Ordnung, Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und inverses Element der Multiplikation
wurde die Ordnung bereits beim Übergang von R zu C geopfert. Das Kommutativgesetz
fiel dem Übergang von C zu H zum Opfer, das Assoziativgesetz dem anschließenden
Übergang zu O. Im Gegensatz zu Quaternionen sind Oktonionen ein Konstrukt, dass zwar
in der reinen Mathematik zur Lösung einiger Probleme in sieben oder acht Dimensionen verwendet
werden kann, für das es aber keine Anwendungen in der Natur und insbesondere in
der Physik gibt.
6.5 Schneeflocke trifft Apfelmännchen an Küstenlinie
oder: Mandelbrot und Feigenbaum lassen grüßen
§ 850 Anfang der 1980er waren Fraktale recht populär; insbesondere dem Apfelmännchen
(siehe Abb. 6.10) gelangen etliche Auftritte auf den Titelbildern nicht nur wissenschaftlicher
Zeitschriften.
6.5.1 Selbstähnlichkeit
§ 851 Angefangen hat alles, zumindest der Legende nach, mit einem einfachen Messproblem:
bestimme die Küstenlänge Großbritanniens. Das Ergebnis hängt von der Methode ab: messen
in einem Weltaltlas liefert auf Grund des großen Maßstabs von ca. 1:4 Mio eine recht
kurze Küstenlänge. Auf einer Autokarte mit Maßstab 1:250 000 sind bereits mehr Details zu
erkennen, entsprechend variierter ist die Küsten – und damit länger. Und auf einer topographischen
Grundkarte im Maßstab 1:10 000 ist die Küste noch länger. Auch in der moderneren
Variante, dem Satellitenbild, bleibt dieses Problem bestehen, vgl. Abb. 6.4 – mit einem Satelliten
mit gutem Bodenauflösungsvermögen ergibt sich ein größerer Wert für die Küstenlänge
als mit einem alten Satelliten mit schlechtem Auflösungsvermögen..
§ 852 Also ohne Karten mit Landvermessers. Normalerweise peilen Landvermesser. Damit
nähern sie die Küstenlinie stückweise linear an – die sich ergebende Gesamtlänge nimmt mit
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode