Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.3. DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG 237
7.3.2 Lineare inhomogene DGL erster Ordnung
§ 916 Bei der inhomogenen Differentialgleichung erster Ordnung verschwindet die Inhomogenität
g(t) in Def. 61 nicht, d.h. es ist die Differentialgleichung
ẋ = a(t) x + g(t)
zu lösen. Dieser Typ von DGL ist stets analytisch lösbar. Dazu wird zuerst die homogene Differentialgleichung
ẋ = a(t)x durch Separation der Variablen gelöst; die Integrationskonstante
wird noch nicht bestimmt. Dann wird eine beliebige spezielle Lösung x p der inhomogenen
Differentialgleichung bestimmt:
Satz 16 Die allgemeine Lösung einer linearen Differentialgleichung ergibt sich als die Summe
einer speziellen inhomogenen Lösung und der allgemeinen homogenen Lösung.
§ 917 Zur Lösung der inhomogenen Gleichung gibt es zwei Verfahren:
• die Methode der Variation der Konstanten ist ein sehr formales Verfahren. Es funktioniert
zwar immer, allerdings können einige unhandliche Ausdrücke entstehen.
• die Methode des Aufsuchens einer partikulären Lösung ist ein Verfahren, das im englischen
Sprachraum als educated guess bezeichnet wird. Hier wird ein Ansatz für die partikuläre
Lösung der inhomogenen DGL in Anlehnung an die Form der Inhomogenität gemacht.
Das Verfahren ist handlich und funktioniert im Gegensatz zur Variation der Konstanten
auch bei DGLs zweiter Ordnung. Es setzt allerdings etwas Erfahrung voraus – fangen sie
rechtzeitig mit dem Üben an.
Variation der Konstanten
§ 918 Ausgangsgleichung ist die inhomogene lineare DGL erster Ordnung
ẋ = a(t) x + g(t) . (7.8)
Für den homogenen Teil ẋ = a(t) x ist die allgemeine Lösung x H durch Separation der
Variablen gemäß (7.6) bestimmt zu
{∫ }
x H = c exp a(t) dt . (7.9)
Die Integrationskonstante c wird an dieser Stelle nicht aus den Anfangsbedingungen bestimmt
sondern durch eine unbekannte Funktion c(t) ersetzt. Der Produktansatz
{∫ }
x = c(t) exp a(t) dt
(7.10)
soll die inhomogene DGL lösen. Dazu leiten wir (7.10) unter Verwendung der Produkt- und
Kettenregel ab:
{∫ } {∫ }
ẋ = c(t) a(t) exp a(t)dt + ċ(t) exp a(t)dt . (7.11)
Einsetzen von (7.10) und (7.11) in (7.8) ergibt
{∫ } {∫ }
ca(t) exp a(t)dt + ċ exp a(t)dt
{∫
= ca(t) exp
}
a(t)dt + g(t)
und damit als Differentialgleichung für die noch unbekannte Funktion c(t):
{ ∫ }
ċ(t) = g(t) exp − a(t)dt .
Diese Differentialgleichung kann direkt integriert werden.
∫ { ∫ }
c(t) = g(t) exp − a(t)dt dt + C .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007