Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

234 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
7.3 Differentialgleichungen 1. Ordnung
§ 905 Eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung ist eine DGL, die nur die Ableitung
erster Ordnung der gesuchten Funktion enthält, nicht jedoch höhere Ableitungen.
Außerdem kann die DGL erster Ordnung noch die Funktion selbst, einen konstanten Term
oder die unabhängige Variable enthalten. Für uns sind nur lineare DGLs von Interesse, so
dass die folgende Definition die uns interessierenden Gleichungen vollständig beschreibt:
Definition 61 Eine Differentialgleichung erster Ordnung heißt linear, wenn sie in der Form
ẋ = a(t) x + g(t)
darstellbar ist.
§ 906 Die Funktion g(t) wird als Störfunktion oder Störglied bezeichnet. Fehlt das Störglied,
so handelt es sich um eine homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Ist g(t)
von Null verschieden, so wird die DGL als inhomogen bezeichnet. Der Zusatzterm g(t) ist
die Inhomogenität.
§ 907 Die Lösung einer inhomogenen DGL setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung
der homogenen DGL und einer speziellen Lösung der inhomogenen DGL. Daher ist, unabhängig
von der Ordnung, das Lösungsverfahren der inhomogenen DGL zweistufig:
1. bestimme als erstes die Lösung der homogenen DGL. Dazu gibt es, zumindest für DGLs
erster und zweiter Ordnung, Standardverfahren.
2. bestimme dann eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL.
Die Gesamtlösung ist die Summe dieser beiden Lösungen; die noch in der Gesamtlösung enthaltenen
Integrationskonstanten können aus den Anfangs- bzw. Randbedingungen bestimmt
werden.
7.3.1 Lineare homogene DGL erster Ordnung
§ 908 Bevor wir mit der Lösung der homogenen DGL beginnen, definieren wir, was eine
homogene lineare DGL erster Ordnung sein soll:
Definition 62 Eine lineare homogene Differentialgleichung erster Ordnung ist eine Bestimmungsgleichung
für eine Funktion x(t), in der nur die Funktion x, ihre erste Ableitung ẋ, die
gegebenenfalls von t abhängige Proportionalitätskonstante a sowie gegebenenfalls eine additive
Konstante b auftreten:
ẋ = a(t) x + b .
§ 909 Die additive Konstante b stellt keine Inhomogenität dar, da eine Inhomogenität von
der unabhängigen Variablen t abhängen muss. Zur Lösung einer homogenen DGL erster
Ordnung bieten sich zwei Verfahren an:
• Separation der Variablen: das Verfahren ist anschaulich und hat den Vorteil, dass die
Integration offensichtlich ist, kann aber bei b ≠ 0 etwas mehr Aufwand bei der Integration
erfordern.
• Lösung mit Hilfe eines Exponentialansatzes: hier wird eine Form der Lösung angenommen
und in die DGL eingesetzt. Mit der sich dabei ergebenden Eigenwertgleichung werden die
Parameter (bzw. bei der DGL erster Ordnung der Parameter) der Lösung fest gelegt. Der
Exponentialansatz ist jedoch nur bei DGLs mit konstantem Koeffizienten a hilfreich.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode