Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

8.4. ANWENDUNGEN 335
§ 1259 Die Tatsache, dass Dreh- und Spiegelmatrix orthogonal sind, hat eine wichtige Konsequenz
für die durch die sie bewirkten Transformationen:
Satz 23 Eine lineare Transformation
(
A α⃗a + β ⃗ )
b = αA⃗a + βA ⃗ b ∀⃗a, ⃗ b (8.23)
erhält die Länge eines Vektors dann und nur dann, wenn die Transformationsmatrix orthogonal
ist.
Das ist auch unsere anschauliche Forderung an eine Drehung bzw. Spiegelung.
§ 1260 Die Drehmatrix für eine Drehung im zweidimensionalen ist bereits in § 1256 gegeben.
Eine Drehung im Uhrzeigersinn um die z-Achse des dreidimensionalen Raumes können wir
direkt daraus ableiten:
⎛
⎞
cos ϕ − sin ϕ 0
D z (ϕ) = ⎝ sin ϕ cos ϕ 0 ⎠ .
0 0 1
Die Drehachse, in diesem Fall ⃗e z = (0, 0, 1), ist invariant gegen die Drehung, d.h. sie ist Eigenvektor
zum Eigenwert 1. Die Drehung um die x-Achse ⃗e x = (1, 0, 0) ergibt sich entsprechend
zu
⎛
D x (ϕ) = ⎝ 1 0 0
⎞
0 cos ϕ − sin ϕ ⎠ .
0 sin ϕ cos ϕ
Die Drehung um ⃗e y = (0, 1, 0) führt auf eine etwas andere Form der Drehmatrix, da hier
die 1 im mittleren Matrixelement steht und die die Winkelfunktionen beschreibende 2 × 2-
Untermatrix nicht zusammenhängend dargestellt wird:
⎛
⎞
cos ϕ 0 sin ϕ
D y (ϕ) = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
− sin ϕ 0 cos ϕ
Zwischenrechnung 51 Zeigen Sie, dass einer der Eigenwerte von D z (ϕ) +1 ist und der
zugehörige Eigenvektor ⃗e z = (0, 0, 1) ist.
§ 1261 Beispiel: Eine Drehung um die z-Achse um π/4 im Uhrzeigersinn lässt sich in einer
Matrix darstellen mit
⎛
⎞
R π
4 ,z =
⎝
√
2
2
− √ 2
2
√
2
2
0
√
2
2
0
0 0 1
⎠ .
§ 1262 Nachdem wir die Transformationsmatrix zumindest für Beispiele ausführlich diskutiert
haben, bleibt noch die Beschreibung der Anwendung. Für einen Vektor haben wir die
Transformation bereits in § 1134 bzw. § 1253 für den zweidimensionalen Fall beschrieben. In
allgemeinerer Form gilt: ein Vektor ⃗r wird von seiner Darstellung in einem System K in die
in K’ mit Hilfe der Transformationsmatrix T transformiert gemäß
⃗x ′ = T⃗x oder x ′ i = ∑ j
t ij x j .
§ 1263 Verwenden wir ein einfaches Beispiel für eine Plausibilitätsbetrachtung. Der Vektor
⃗r = ( √ 2, √ 2, 0) ist ein Einheitsvektor entlang der Diagonalen in der xy-Ebene in einem
Koordinatensystem K. In einem um π/4 im Uhrzeigersinn um die z-Achse gedrehten Koordinatensystem
sollte dieser Vektor genau auf der x-Achse liegen. Verwendung der Drehmatrix
aus § 1261 liefert für den neuen Vektor
⎛
⃗r ′ = ⎝
√
2
2
− √ 2
2
√
2
2
0
√
2
2
0
0 0 1
⎞ ⎛ √ ⎞ ⎛
√ 2
⎠ ⎝ 2 ⎠ =
0
⎝ 1 0
0
⎞
⎠ .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007