Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

8.2. RECHENTECHNIK 315
Verständnisfrage 21 Warum wird das Distributivgesetz in zwei Varianten angegeben?
Wäre eine nicht ausreichend?
§ 1166 Generell ist die Matrixmultiplikation nicht kommutativ. Bei Multiplikation mit der
Einheitsmatrix gilt das Kommutativgesetz dennoch: EA = AE = A oder [A, E] = 0. Für die
Transponierte eines Produktes zweier Matrizen gilt (AB) T = B T A T . Bei der Multiplikation
eines Vektors ⃗v mit einer Matrix A gilt ⃗vA T = A⃗v, wie sich aus den Multiplikationsregeln für
Matrizen zeigen lässt.
§ 1167 In § 1163 haben wir das Produkt der Matrizen A A T bestimmt. Das Produkt A T A
ergibt sich zu
⎛
A T A = ⎝ 1 4 7
⎞ ⎛
2 5 8 ⎠ ⎝ 1 2 3
⎞ ⎛
⎞
66 78 90
4 5 6 ⎠ = ⎝ 78 93 108 ⎠ .
3 6 9 7 8 9 90 108 126
Vergleich mit § 1163 zeigt, dass für diese Matrizen das Kommutativgesetz nicht gilt. Für den
Kommutator [A, A T ] erhalten wir
⎛
⎞
−52 −46 −40
[A, A T ] = A A T −A T A = ⎝ −46 −16 14 ⎠ .
−40 14 68
Dyadisches Produkt
§ 1168 In (8.3) haben wir das Skalarprodukt als das Produkt eines Zeilenvektors mit einem
Spaltenvektor geschrieben, d.h. wir multiplizieren eine 1 × 3 mit einer 3 × 1 Matrix und
erhalten eine 1 × 1-Matrix bzw. einen Skalar. Multiplizieren wir jedoch einen Spalten- mit
einem Zeilenvektor, so multiplizieren wir eine 3×1 Matrix mit einer 1×3 Matrix und erhalten
eine 3 × 3 Matrix. Dieses dyadische Produkt ergibt sich durch Anwendung der Vorschriften
für die Matrixmulitplikation zu
⎛
⃗a ⊙ ⃗ b = ⃗a ⃗ b = ⎝ a ⎞
⎛
1
a 2
⎠ ⊙ ( b 1 b 2 b 3 ) = ⎝ a 1b 1 a 1 b 2 a 1 b 3
⎠ .
a 3
⎞
a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 3
a 3 b 1 a 3 b 2 a 3 b 3
§ 1169 Aus den beiden Vektoren ⃗a = (1, 3, 5) und ⃗ b = (−1, 2, −4) lassen sich bestimmen das
Skalarprodukt
⎛
⃗a ·⃗b = ⎝ 1 ⎞ ⎛
3 ⎠ · ⎝ −1
⎞
2 ⎠ = −15
5 −4
und das dyadische Produkt
⎛ ⎞
⃗a ⊙ ⃗ b = ⃗a ⃗ b =
⎝ 1 3 ⎠ ⊙ ( −1 2 −4 ) =
5
⎛
⎞
−1 2 −4
⎝ −3 6 −12 ⎠ .
−5 10 −20
§ 1170 Ein physikalisches Anwendungsbeispiel sind die Spins von Teilchen in der Quantenmechanik.
Für ein einzelnes Teilchen mit Spin 1 2
gibt es die beiden Zustände |↑〉 und |↓〉, die
mit Hilfe von Einheitsvektoren geschrieben werden können als
( )
( )
1 0
|↑〉 = und |↓〉 = .
0 1
Zwei-Teilchen-Spinzustände werden als dyadisches Produkt der beiden Zustände der Einzelteilchen
erzeugt. Dabei ergeben sich drei mögliche Zustände
( )
( )
1 0
0 0
|↑↑〉 = |↑〉|↑〉 = , |↓↓〉 = |↓〉|↓〉 =
und
0 0
0 1
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007