Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

10.2. DIFFERENTIATION: DIVERGENZ UND ROTATION 377
Rechenregeln
§ 1412 Die Rechenregeln für die Divergenz basieren auf den Regeln der Differentiation (Abschn.
4.4.1), da auch die Divergenz ein linearer Operator ist:
• für ein konstantes Feld ⃗ A = ⃗c gilt
div⃗c = ∇ · ⃗c = 0 .
Das haben wir bereits am Beispiel des homogenen Feldes verwendet in § 1406.
• Summenregel:
div( ⃗ A + ⃗ B) = ∇ · ( ⃗ A + ⃗ B) = ∇ · ⃗A + ∇ · ⃗B = div ⃗ A + div ⃗ B
bzw. für den Fall, dass eines der Felder konstant ist:
div( ⃗ A + ⃗c) = ∇ · ( ⃗ A + ⃗c) = ∇ · ⃗A + ∇ · ⃗c = ∇ · ⃗A .
Daraus folgt, dass wir Felder aus ihrer Divergenz nur bis auf eine Konstante genau bestimmen
können.
• Faktorregel:
div(α ⃗ A) = ∇ · (α ⃗ A) = α ∇ · ⃗A = α div ⃗ A .
• Produktregel bei der Multiplikation eines Skalar- und eines Vektorfeldes:
div(A ⃗ B) = ∇ · (A ⃗ B) = A ∇ · ⃗B + ⃗ B · ∇A = A div ⃗ B + ⃗ B · gradA .
Der ∇-Operator wird hier entsprechend der Produktregel auf beide Felder angewendet,
bedeutet aber beim Vektorfeld die Divergenz und beim Skalarfeld den Gradienten. Dies
haben wir in § 1409 bereits genauer ausgeführt.
10.2.2 Laplace Operator
§ 1413 Betrachten wir ein skalares Feld A. Anwendung des Nabla-Operators liefert ein Vektorfeld
∇A = gradA. Wenden wir nochmals den Nabla Operator an, so erhalten wir die
Divergenz dieses Gradientenfeldes:
mit
div gradA = ∇ · (∇A) = ∆A
( )
∂
∆ = ∇ 2 2
=
∂x 2 + ∂2
∂y 2 + ∂2
∂z 2
als dem Laplace Operator in kartesischen Koordinaten.
(10.6)
§ 1414 Als Anwendungsbeispiel können wir die Poisson Gleichung aus dem bereits in § 1395
erwähnten Gauß’schen Gesetz herleiten. Das elektrische Feld ⃗ E einer Ladungsdichteverteilung
ϱ c lässt sich mit Hilfe des Gauß’schen Gesetzes (10.24) darstellen als
∇ · ⃗E = ϱ c
ɛ 0
.
Da das elektrische Feld wirbelfrei ist, kann es als Gradient eines skalaren Potentials U geschrieben
werden: ⃗ E = −∇U. Einsetzen in das Gauß’sche Gesetz liefert die Poisson Gleichung
(vgl. Abschn. 11.5) als Bestimmungsgleichung für das elektrostatische Potential
∆U = − ϱ c
ɛ 0
.
§ 1415 In Kugelkoordinaten ergibt sich der Laplace-Operator aus (4.7) und (10.3) zu
∆A = 1 (
∂
r 2 r 2 ∂A )
(
1 ∂
+
∂r ∂r r 2 sin ϑ ∂A )
sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ
1 ∂ 2 A
+
r 2 sin 2 ϑ ∂ϕ 2 , (10.7)
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007