Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

4.6. DIFFERENTIALRECHNUNG IN MATLAB 161
Frage 36 Welche Bedeutung haben das partielle und das totale Differential?
Frage 37 Was sind stationäre Punkte einer Funktion?
Frage 38 Wie lassen sich die Extrema einer Funktion von mehreren Variablen bestimmen?
Frage 39 Bei einer von zwei Variablen abhängenden Funktion verschwinden in einem Punkt
beide ersten Ableitungen. Handelt es sich bei diesem Punkt um ein Extremum?
Frage 40 Was versteht man unter einem Feld? Nennen Sie Beispiele für Skalar- und Vektorfelder.
Frage 41 Skizzieren Sie typische Feldgeometrien.
Frage 42 Welche Bedeutung hat der Gradient und wie bestimmt man ihn?
Frage 43 Was sind Isolinien bzw. -flächen? Geben Sie Beispiele für die Isolinine und -flächen
in typischen Feldgeometrien.
Frage 44 Welche Bedeutung hat der Gradient und wie bestimmt man ihn?
Frage 45 Warum kann man keinen Gradienten eines Vektorfeldes bestimmen? Wie könnte
man sich formal behelfen? Hätte der so bestimmte Gradient eine Bedeutung?
Frage 46 Begründen Sie anschaulich und formal, warum der Gradient die maximale Steigung
gibt.
Frage 47 Was versteht man unter einer Richtungsableitung? Wie lässt sie sich bestimmen?
Frage 48 Veranschaulichen Sie das Flächenelement in Polarkoordinaten.
Frage 49 Veranschaulichen Sie (gegebenenfalls mit Hilfe einer Skizze) das Flächen- und das
Volumenelement in Kugelkoordinaten.
Frage 50 Wie ist die Jacobi-Determinante definiert? Welche anschauliche Bedeutung hat
sie?
Aufgaben
Simple Übungen zu Ableitungen finden Sie in Aufg. 297, wir beginnen gleich mit etwas
anspruchsvolleren Aufgaben.
Rechentechnik
Aufgabe 58 Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion f(x) = 2x 3 + 3x 2 − 1 über
den Differenzenquotienten. Wie groß ist die erste Ableitung an der Stelle x = 5? Wie lautet
der zugehörige Funktionswert? An welcher Stelle hat die Funktion Extremwerte?
Aufgabe 59 Bestimmen Sie die ersten und zweiten Ableitungen der folgenden Funktionen:
f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
h(x) = x 2 cos x
j(x) = cos 4 (kx)
l(x) = sinh(kx)
g(x) = sin(kx)
i(x) = cos(kx) e −kx
k(x) = tan(ωx)
Aufgabe 60 Bestimmen Sie die Steigung der Funktion f(x) = (1 + x) −1 im Schnittpunkt
mit der y-Achse.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007