Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

11.5. POISSON GLEICHUNG 427
Das Integral lässt sich in zwei Teile zerlegen, einen inneren Teil r < r ′ und einen äußeren Teil
r ≥ r ′ :
⎧ ⎫
U(r) = 1 ⎨ ∫
1
r
∫ ∞ ⎬
ϱ(r ′ )(r ′ ) 2 dr ′ + ϱ(r ′ )r ′ dr
ε 0 ⎩ r
⎭ : (11.34)
0
r
auf einer Kugelschale der Dicke dr ′ bei r ′ befindet sich eine Ladung dQ = 4πr ′2 dr ′ . Diese
erzeugt im Außenraum ein wie 1/r abfallendes Coulomb-Potential während das Potential im
Innern konstant ist und den gleichen Wert wie an der Oberfläche annimmt:
dU(r) = 1 {
dQ ′ /r ′ für r < r ′
4πε 0 dQ ′ /r für r ′ < r
.
Die so gefundene Lösung der Poisson-Gleichung ist nicht eindeutig (Integrationskonstante).
Hier ist die Lösung so gewählt, dass U für r → ∞ gegen Null geht.
Zwischenrechnung 62 Vollziehen Sie die rechnung Schritt für Schritt inklusive der Substitutionen
nach.
11.5.4 Multipolentwicklung.
§ 1588 Das Poisson Integral (11.33) ist für beliebige Ladungsdichteverteilungen ϱ(⃗r) nicht
zwingend lösbar. In diesen Fällen kann die Gleichung numerisch integriert oder näherungsweise
mit Hilfe einer Multipolentwicklung gelöst werden.
§ 1589 Betrachten wir wieder den Nenner in (11.33). Mit den Abkürzungen µ = ⃗r·⃗r ′ /(|⃗r| |⃗r ′ |)
(das ist der Kosinus des Winkels zwischen ⃗r und ⃗r ′ , d.h. eine Richtungsangabe) und s = r ′ /r
(ein Maß für den relativen Abstand) lässt sich der Nenner schreiben
1
|⃗r − ⃗r ′ | = 1 r T (µ, s) mit T (µ, s) = 1
√ .
1 − 2µs + s
2
Die Funktion T steht mit den Legendre Polynomen P k (µ) in Beziehung:
∞∑
T (µ, s) = s k P k (µ) .
k=0
Damit lässt sich das Potential in eine Reihe entwickeln
∞∑ Q k
U(⃗r) =
r k+1
k=0
mit den Multipolkoeffizienten
∫
Q k = ϱ(⃗r ′ ) P k (µ)r ′ k d 3 ⃗r ′ .
§ 1590 Der Koeffizient des Monopols ist die Gesamtladung
∫
Q = Q 0 = ϱ(⃗r ′ ) d 3 ⃗r ′ : (11.35)
das Feld einer abgeschlossenen statischen Ladungsverteilung verhält sich in großer Entfernung
in erster Näherung wie das einer Punktladung Q.
§ 1591 Der Dipolkoeffizient ist
∫
Q 1 = µr ′ ϱ(⃗r ′ ) d 3 ⃗r ′ .
In kartesischen Koordinaten ⃗r = (x l ) und ⃗r ′ = (x ′ l
) lässt sich dieser mit Hilfe der Dipolmoments
∫
p l = x ′ l ϱ(⃗r ′ ) d 3 ⃗r ′
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007