Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

178 KAPITEL 5. INTEGRATION
bestimmen, zerlegen wir diesen in infinitesimal kleine Massenelemente dm, bestimmen für
diese jeweils das Teil-Trägheitsmoment dI = ϱ 2 dm und summieren diese über das Volumen
V des Körpers:
∫ ∫
I = dI = ϱ 2 dm . (5.5)
V
In diesem Ausdruck ist die Integration über Massenelemente dm ungewohnt, da wir die Geometrie
nicht direkt in den Massenelementen wieder finden. Mit der Massendichte ρ lässt sich
ein Massenelement schreiben als dm = ρdV . Damit ergibt sich bei nicht vom Ort abhängender
Massendichte ρ für das Trägheitsmoment
∫
I = ρ ϱ 2 dV .
V
Dreifachintegral in kartesischen Koordinaten.
§ 691 In kartesischen Koordinaten lässt sich das Dreifachintegral darstellen als:
∫
f(x, y, z) dV =
∫ x o
y∫
o(x)
z o(xy)
∫
f(x, y, z) dz dy dx .
V
x=x u
y=y u(x)
z=z u(x,y)
Dabei wird wieder von Innen nach Außen integriert, wobei die Reihenfolge der Integration
durch die Reihenfolge der Differentiale eindeutig bestimmt und eine Vertauschung der
Integration nur dann möglich ist, wenn die Integrationsgrenzen nicht voneinander abhängen.
§ 692 Als Anwendungsbeispiel betrachten wir das Trägheitsmoment eines Quaders mit den
Seitenlängen a, b und c, der um eine Achse durch seinen Schwerpunkt senkrecht zu der von
a und b gebildeten Fläche rotiert. Die Bestimmung des Trägheitsmoments erfolgt gemäß
(5.5) durch Integration über das Volumen; mit der Dichte ρ wird das Massenelement dm =
ρ dV = ρ dx dy dz. Für einen Quader sind kartesische Koordinaten angemessen. Wir legen
die Drehachse auf die z-Achse, so dass der Abstand der Volumenelemente von der Drehachse
gegeben ist als ϱ = √ x 2 + y 2 . Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment
I S =
∫
ϱ 2 dm = ρ
∫a/2
∫b/2
∫c/2
(x 2 + y 2 ) dz dy dx = ρc
∫a/2
∫b/2
(x 2 + y 2 ) dy dx
= ρc
∫a/2
−a/2
−a/2
)
(bx 2 + b3
12
−b/2
−c/2
( a
3
dx = ρcb
12 + ab2
12
)
−a/2 −b/2
= ρabc
12 (a2 + b 2 ) = m 12 (a2 + b 2 ) .
§ 693 Wollen wir den Quader um die Seitenkante c drehen, so müssen wir ihn verschieben,
wie wir es in § 682 mit dem Rechteck gemacht haben. Dabei verändern sich nur die
Integrationsgrenzen und wir erhalten für das Trägheitsmoment
I b =
∫
= ρc
∫ a
ϱ 2 dm = ρ
∫ a
0
0
(
bx 2 + b3 3
∫ b
0
∫ c
0
∫ a
(x 2 + y 2 ) dz dy dx = ρc
) ( a
3
dx = ρcb
3 + ab2
3
)
0
∫ b
0
(x 2 + y 2 ) dy dx
= ρabc
3 (a2 + b 2 ) = m 3 (a2 + b 2 ) , (5.6)
I b ist also das Vierfache des Trägheitsmoments I S um eine parallele Achse durch den Schwerpunkt.
Dieses Ergebnis lässt sich mit Hilfe des Steiner’schen Satzes überprüfen. Letzterer
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode