Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

122 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG
4.1 Motivation
§ 474 In der Schulmathematik wird Differentiation häufig als Hilfsmittel bei der Kurvendiskussion
verwendet. Die damit verbundenen Konzepte von Veränderungen und Extremwerten
sind auch in der Physik wichtig – jedoch weniger in der direkten Anlehnung an einen Funktionsgraphen
sondern in abstrakter Form. So ist die Momentangeschwindigkeit ⃗v definiert
als die Änderung des Ortes ⃗r(t) mit der Zeit t: ⃗v = d⃗r/dt. Entsprechend ist die Beschleunigung
⃗a(t) die Veränderung der Geschwindigkeit mit der Zeit oder ⃗a = d⃗v/dt. In diesen
Beispielen ist der Begriff ‘abgeleitete Größe’ (bzw. abgeleitete Einheit) daher sogar wörtlich
zu verstehen.
§ 475 Die Differentiation ist also ein Hilfsmittel zur Beschreibung von Veränderungen. In vielen
physikalischen Problemen interessiert die Veränderung einer physikalischen Größe mit der
Zeit. Beispiele sind die allmählich etwas überstrapazierte Änderung des Ortes mit der Bewegung
aber auch die Änderung der Zahl der Kerne in einer zerfallenden radioaktiven Substanz
oder die Änderung der Temperatur eines Wasserbades bei Abkühlung/Erwärmung. Auch in
diesen Fällen werden wir die Änderung der abhängigen Variablen V (t) in Abhängigkeit von
der Änderung der unabhängigen Variablen t betrachten, z.B. um daraus Prognosen für den
zukünftigen Zustand des Systems abzuleiten. Mathematisch interessiert uns dabei mit dem
Ausdruck ∆V/∆t die Sekantensteigung.
§ 476 Die mathematische Bedeutung der Differentiation fasst diese anschaulichen Gesichtspunkte
formaler: um ein Maß für die Veränderung einer Funktion von einem Wert der unabhängigen
Variablen zu einem anderen zu erhalten, müssen wir zwischen diesen beiden
Werten differenzieren. Die mathematische Idealisierung (im Gegensatz zur harten physikalischen
Realität) kann die Differenz der Argumente der Funktion gegen Null gehen lassen und
auf diese Weise das Differential und damit die Ableitung einführen: V ′ (t) = lim ∆V/∆t.
§ 477 Funktionen beschreiben jedoch nicht nur zeitliche Abhängigkeiten. Betrachten wir
als Funktion nochmals das aufsteigende Tal aus § 448. Diese Funktion zweier Variablen
kann als ein Höhenrelief interpretiert werden. Wie rollt eigentlich eine Kugel in diesem Tal?
Anschaulich klar: sie wird irgendwie die Wand des Tals runter in Richtung auf den Talboden
rollen und gleichzeitig, da er geneigt ist, entlang des Talboden aus dem Tal raus. Aber
welchen Weg genau nimmt die Kugel? Was wird ihre Falllinie sein? Auch dafür müssen
wir die Änderung des Reliefs, d.h. die Steigung, kennen. Die Falllinie der Kugel wird in
Richtung des maximalen Gefälles erfolgen – oder entgegen gesetzt zur maximalen Steigung.
Die Steigung einer Funktion wird durch ihre Ableitung gegeben. Bei einer Funktion mehrerer
Variablen wie dem ansteigenden Tal können wir die partiellen Ableitungen nach jeder der
einzelnen Variablen bilden, d.h. die Steigungen in die einzelnen Koordinatenrichtungen. Diese
Steigungen können kombiniert werden zu einem Gradienten, der die Richtung der maximalen
Steigung angibt. Die Falllinie ist dem Gradienten genau entgegen gesetzt.
§ 478 Die Falllinie ist eine sehr anschauliche Beschreibung für die Anwendung des Gradienten.
In unserem Tal könnten wir jetzt an jeder Stelle einen kleinen Pfeil anbringen dessen
Richtung entlang des Gradienten ist und dessen Länge proportional zum Betrag des Gradienten
ist. Unser Tal ist dann mit einem Feld derartiger Vektoren gepflastert. Dieses Vektorfeld
gibt für jeden Punkt des Tals den Gradienten, d.h. die Information über Betrag und Richtung
der maximalen Steigung.
§ 479 Das Konzept des Gradienten lässt sich von dieser anschaulichen auch auf abstraktere
Situationen erweitern. Das Gravitationsfeld gibt für jeden Punkt des Raumes Betrag
und Richtung der dort auf einen Testkörper wirkenden Gravitationskraft. Also ist es ein
Vektorfeld und es lässt sich als der Gradient eines skalaren Feldes, des Gravitationspotentials,
darstellen. Entsprechend lässt sich das elektrische Feld als Gradient eines elektrischen
Potentials darstellen.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode