Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

12.4. FEHLERRECHNUNG (DESKRIPTIVE STATISTIK) 471
Abbildung 12.14: ’
Messwerte‘ und Anpassung unter Berücksichtigung der Fehler (durchgezogene
Linie) und unter Vernachlässigung der Fehler (gestrichelte Linie) für Beispiel 1767
§ 1767 Eine Messung ergab die folgenden Datenpunkte:
x i 0 1 2 3 4 5 6 7
y i -1.5 2 4.8 7 9.8 10.8 13.5 16.8
σ yi 2. 1.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1.5 2.
Mit den oben definierten Abkürzungen S = 17.39, S x = 60.86, S y = 140.31, S xx = 244.69 und
S xy = 561.49 erhalten wir als Fitparameter a = 2.22 und b = 0.29 mit den Varianzen σa 2 =
0.03 und σb 2 = 0.44. Der Korrelationskoeffizient beträgt r = −0.93, der Fit ist zusammen mit
den Daten als durchgezogene Linie in Abb. 12.14 gegeben. Zum Vergleich gibt die gestrichelte
Line einen Fit ohne Berücksichtigung der Fehler mit a = 2.46 und b = −0.7.
Rang-Korrelation (Nicht-parametrische Korrelationen)
§ 1768 Die Rang-Korrelation unterscheidet sich von den bisher betrachteten Verfahren insofern,
als dass nicht nach einem funktionalen Zusammenhang zwischen den Datensätzen
gesucht wird (z.B. linear, quadratisch), sondern dass nur überprüft wird, ob sich die Daten
ordnen: es wird gleichsam auf die Monotonie einer Funktion geprüft, nicht jedoch auf
die Funktion selbst. Die Rang-Korrelation ist eine nicht-parametrische Korrelation. Nichtparametrische
Korrelationen sind wesentlich robuster als parametrische.
§ 1769 Das Konzept einer Rang-Korrelation ist anschaulich: ersetze den Wert eines jeden x i
durch den Wert des Ranges unter allen anderen x i in der Verteilung x 1 , ..., x N . Die sich daraus
ergebende Liste von N Zahlen stammt aus einer vollständig bekannten Verteilungsfunktion,
nämlich den natürlichen Zahlen von 1 bis N. Sind alle x i verschieden, so tritt jede Zahl genau
einmal auf, sind mehrere x i identisch, so weist man ihnen den mittleren Rang zu, den diese
Zahlen haben würden, wenn sie etwas verschieden wären. Die Summe aller Werte ist in jedem
Fall 1 2 N(N + 1). Eine entsprechende Sortierung lässt sich auch für die y i vornehmen. Daraus
lassen sich verschiedene Korrelationskoeffizienten definieren.
§ 1770 Spearman’s Rang-Korrelationskoeffizient arbeitet mit den absoluten Rängen der
Werte einer Messreihe. Mit R i als dem Rang von x i und S i als dem Rang von y i lässt
sich ein Rangordnungskorrelationskoeffizient definieren als der lineare Korrelationskoeffizient
der Ränge:
∑
i
r s =
(R i − R)(S i − S)
√ ∑
√ ∑
. (12.34)
i (R i − R) 2 i (S i − S) 2
Die Signifikanz dieses Korrelationsparameters ist bestimmt durch
√
N − 2
t = r s
1 − rs
2 .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007