Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

524 ANHANG C. ERSTE HILFE
Ableitungsregeln zusammen gefasst
§ 1872 Die Grundregeln des Differenzierens, wie in Abschn. 4.3 kurz erläutert, sind:
• die Faktorregel: wir betrachten eine Funktion f(x), die mit einem konstanten Faktor c multipliziert
ist. Wenn wir diese Funktion c f(x) ableiten, so können wir das c als konstanten
Faktor vor die Ableitung ziehen und dann mit der Ableitung von f(x) multiplizieren:
d
d
(c f(x)) = c
dx dx f(x) = c f ′ (x) .
Wir haben diese Regel in Bsp. 11 bereits verwendet, als wir (C.3) abgeleitet haben:
( )
d 1
dt 2 gt2 = 1 2 g d dt t2 = 1 g 2t = gt .
2
• die Summenregel: lässt sich eine Funktion f(x) als die Summe zweier (oder mehrerer)
Funktionen g(x) und h(x) darstellen, so können die Summanden einzeln abgeleitet und
dann addiert werden: ‘die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen’. Formal
lässt sich dies schreiben als
d
d
(g(x) + h(x)) =
dx dx g(x) + d
dx h(x) = g′ (x) + h ′ (x) .
Auch diese Regel haben wir in Bsp. 11 bereits verwendet, als wir die Summanden in (C.3)
einzeln abgeleitet haben.
• die Produktregel: lässt sich eine Funktion f(x) als das Produkt zweier Funktionen g(x)
und h(x) darstellen, so gilt für die Ableitung:
d
dx (g(x) · h(x)) = g(x) · d
dx h(x) + h(x) · d
dx g(x) = g(x)h′ (x) + g ′ (x)h(x) .
• die Quotientenregel ist keine separate Regel sondern nur ein Spezialfall der Produktregel.
Wenn Sie sich mit der Quotientenregel recht vertraut fühlen, verwenden Sie sie. Sonst
versuchen Sie gar nicht erst, sich diese Regel zu merken sondern wandeln den Quotienten
in ein Produkt um
f(x)
g(x) = f(x) · (g(x))−1 .
Auf dieses Produkt kann die Produktregel angewandt werden.
• die Kettenregel: in der Physik hat eine Funktion häufig eine Funktion als Argument. Ein
frühes Beispiel ist f(t) = sin(ωt + ϕ). Dabei kann der Sinus als eine äußere Funktion g(t)
aufgefasst werden, das Argument des Sinus als eine innere Funktion h(t) = ωt + ϕ Die
Funktion f(t) lässt sich dann formal schreiben als f(t) = g(h(t)). Die Ableitung dieser
Funktion erhalten wir, in dem wir erst die Ableitung der äußeren Funktion bilden und
anschließend mit der Ableitung der inneren Funktion, kurz als innere Ableitung bezeichnet,
multiplizieren:
d
dt g(h(t)) = d
dh g(h) d dt h(t) = g′ (t) h(t) .
Angewandt auf unser Beispiel erhalten wir
d
sin(ωt + ϕ) = cos(ωt + ϕ) · ω .
dt
§ 1873 Im Rest dieses Abschnitts werden wir schrittweise Beispiele für diese Regeln behandeln.
Da die Faktoren- und die Summenregel trivial sind, benötigen wir hier keine weiteren
Beispiele als Bsp. 11. Für die Quotientenregel werden wir ebenfalls kein Beispiel bearbeiten,
allerdings wird in Bsp. 16 ein Quotient als Produkt dargestellt und abgeleitet.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode