Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

46 KAPITEL 1. VEKTOREN
Aufgabe 6 Überprüfen Sie, ob einige der folgenden Vektoren paarweise senkrecht aufeinander
stehen:
⎛
⃗a = ⎝ 1 ⎞ ⎛
5 ⎠ , ⃗ b = ⎝ 7 ⎞ ⎛
6 ⎠ , ⃗c = ⎝ 3 ⎞
⎛
2 ⎠ und d ⃗ = ⎝ −11
⎞
−16 ⎠ .
−7
5
−5
−13
Aufgabe 7 Gegeben sind die Vektoren
⎛
⃗a = ⎝ −2
⎞
⎛
2 ⎠ und ⃗ b = ⎝ 1 ⎞
−3 ⎠ .
−5
7
Wandeln Sie beide von kartesischen Koordinaten in Polar- und Zylinderkoordinaten um.
Aufgabe 8 Die folgenden Vektoren bilden paarweise Ebenen:
⎛
⃗a = ⎝ 1 ⎞ ⎛
−1 ⎠ , ⃗ b = ⎝ 2 ⎞
⎛
−1 ⎠ und ⃗c = ⎝ −2
⎞
−3 ⎠ .
1
2
1
Bestimmen Sie für jede der möglichen Ebenen den Normaleneinheitsvektor. Gibt es nur eine
Lösung?
Aufgabe 9 Verwenden Sie die Vektoren aus Aufgabe 8 und bilden Sie alle möglichen Projektionen.
Aufgabe 10 Wie muss λ gewählt werde, damit die drei Vektoren ⃗a = (1, λ, 4), ⃗ b = (−2, 4, −11)
und ⃗c = (−3, 5, 1) komplanar sind?
Aufgabe 11 Überprüfen Sie die Lagrange Identität
(⃗a × ⃗ b) · (⃗c × ⃗ d) = ⃗a · ( ⃗ b × (⃗c × ⃗ d)) = (⃗a · ⃗c)( ⃗ b · ⃗d) − (⃗a · ⃗d)( ⃗ b · ⃗c)
durch komponentenweises ausführen der rechten, mittleren und linken Seite.
Aufgaben mit mathematischer Orientierung
Aufgabe 12 Beweisen Sie den Kosinus-Satz mit Hilfe des Skalarprodukts.
Aufgabe 13 Beweisen Sie den Sinussatz.
Aufgabe 14 Beweisen Sie den Satz des Pythagoras mit Hilfe des Skalarprodukts.
Aufgabe 15 Leiten Sie einen Ausdruck für das Skalarprodukt von zwei Vektoren her, die in
Kugelkoordinaten gegeben sind. Ist dieser Ansatz hilfreich?
Aufgaben mit physikalischem Hintergrund
Aufgabe 16 Auf einen ruhenden Körper der Masse m = 5 kg wirken die Kräfte
⎛
F 1 = ⎝ 4 ⎞ ⎛
5 ⎠ N , F 2 = ⎝ −9
⎞ ⎛
4 ⎠ N , F 3 = ⎝ 25
⎞ ⎛
5 ⎠ N , F 4 = ⎝ −5
⎞
⎛
9 ⎠ N und F 5 = ⎝ −5
⎞
−7 ⎠ N .
−9
−7
1
81
−3
Welche zusätzliche Kraft muss auf den Körper wirken, damit dieser in Ruhe verbleibt? Bestimmen
Sie ferner die Beschleunigung des Körpers für den Fall, dass die zusätzliche Kraft
nicht wirkt.
Aufgabe 17 Eine Kraft ⃗ F = (8, −8, 8) N verschiebt einen Massenpunkt der Masse m = 10 g
gradlinig von P 1 = (1, −3, 5) m nach P 2 = (33, 22, 11) m. welche Arbeit leistet die Kraft und
wie groß ist der Winkel zwischen Kraft und Weg? Wie ändert sich die Arbeit, wenn die Masse
verdoppelt bzw. halbiert wird?
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode