Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

1.2. GRUNDLAGEN 5
Zwischenrechnung 1 Erläutern Sie die Gleichung für den Betrag im 3D an Hand einer
Skizze und formal.
§ 50 Verschwindet der Betrag eines Vektors, so handelt es sich um den Nullvektor
⎛ ⎞
⃗0 =
⎝ 0 0 ⎠ und |⃗0| = 0 .
0
1.2.3 Einheitsvektor
§ 51 Jetzt fehlt noch die Richtung. Diese lässt sich entweder wie in der Navigation durch
einen Richtungswinkel angeben (dann kommen wir zu Polarkoordinaten) oder durch einen
Einheitsvektor. Letzterer stellt die Richtung durch das Verhältnis der Längen seiner Komponenten
her. Da nur die Richtung ⃗e ⃗r betrachtet werden soll, wird der Vektor ⃗r durch Division
durch seinen Betrag |⃗r| auf die Länge 1 normiert und wir erhalten den Einheitsvektor:
⃗e ⃗r = ⃗r
|⃗r| .
Entsprechend lässt sich der Vektor ⃗r als das Produkt aus seinem Betrag |⃗r| und dem Einheitsvektor
⃗e ⃗r in seine Richtung schreiben:
⃗r = |⃗r| ⃗e ⃗r .
§ 52 Einheitsvektoren sind zur Darstellung eines Koordinatensystem unerlässlich. So ist jeder
der Achsen des kartesischen Koordinatensystems in Abb. 1.2 ein Einheitsvektor zugeordnet:
( )
( )
1 0
⃗e x = und ⃗e
0 y = mit |⃗e
1 x | = |⃗e y | = 1 .
Der Vektor ⃗r lässt sich auch mit Hilfe dieser Einheitsvektoren ausdrücken:
( )
rx
⃗r = = r
r x ⃗e x + r y ⃗e y
y
oder allgemeiner für einen n-dimensionalen Raum
⃗r =
n∑
r k ⃗e k = r 1 ⃗e 1 + r 2 ⃗e 2 + . . . + r k ⃗e k + . . . + r n ⃗e n .
k=1
Anschaulich bedeutet diese Summe: um zum Punkt ⃗r zu gelangen, gehe erst r 1 Einheiten in
Richtung ⃗e ⃗r1 , dann r 2 Einheiten in Richtung ⃗e ⃗r2 usw. – also genau das Verfahren, das Sie
beim Eintragen eines Punktes in ein kartesisches Koordinatensystem verwenden würden.
§ 53 Im kartesischen Koordinatensystem stehen die Einheitsvektoren ⃗e x , ⃗e y und ⃗e z senkrecht
auf einander, d.h. es handelt sich um orthogonale Einheitsvektoren. Die drei Vektoren ⃗e x , ⃗e y
und ⃗e z bilden damit ein Orthonormalsystem.
1.2.4 Einfache Vektoralgebra
§ 54 Algebraische Operationen mit Vektoren lassen sich in kartesischen Koordinaten auf
einfache Weise durchführen. Bevor wir zu Rechnen beginnen jedoch einige Grundlagen.
Definition 2 Zwei Vektoren ⃗a und ⃗ b heißen gleich, wenn sie in Betrag und Richtung übereinstimmen:
⃗a = ⃗ b ⇔ |⃗a| = | ⃗ b| ∧ ⃗e ⃗a = ⃗e ⃗b .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007