Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

1.7. VEKTOREN IN MATLAB 45
Aufgaben
Die Zahl der Aufgaben ist begrenzt; Sie sollen daran nur verschiedenen Typen von Aufgaben
kennen lernen. Benötigen Sie weitere Aufgaben und/oder Beispiele, so können Sie z.B. [26]
oder [44] konsultieren.
Zum Aufwärmen: einfache Rechenübungen
Aufgabe 1 Gegeben sind die Vektoren
⎛
⃗a = ⎝ 1 ⎞ ⎛
−4 ⎠ , ⃗ b = ⎝ −1
⎞
⎛
4 ⎠ , und ⃗c = ⎝ 1 ⎞
−2 ⎠ .
2
−2
−4
Bestimmen Sie daraus die folgenden Ausdrücke:
⃗d = ⃗a + ⃗ b − ⃗c ,
⃗e = 2⃗a + 4( ⃗ b − 3⃗c) ,
⃗f = 2(⃗a + 2 ⃗ b) − 3(⃗c + 2⃗a) .
Aufgabe 2 Bestimmen Sie die Beträge der folgenden Vektoren:
⎛
⃗a = ⎝ 5 ⎞ ⎛
4 ⎠ , ⃗ b = ⎝ 4 ⎞
⎛
0 ⎠ und ⃗c = ⎝ −1
⎞
−9 ⎠ .
3
−3
3
Bestimmen sie fernen einen Einheitsvektor in Richtung ⃗a − ⃗c.
Aufgabe 3 Gegeben sind die Vektoren
⎛
⃗a = ⎝ 1 ⎞ ⎛
2 ⎠ , ⃗ b = ⎝ 2 ⎞ ⎛
3 ⎠ , ⃗c = ⎝ −2
⎞
⎛
−4 ⎠ und d ⃗ = ⎝ 3 ⎞
6 ⎠ .
3
4
−6
9
Bestimmen Sie die folgenden Ausdrücke:
e = ⃗a · ( ⃗ b · ⃗c) · ⃗d
⃗f = ⃗a × ⃗ b + ⃗c × d ⃗
⃗g = (⃗a ·⃗b) × ⃗c + ⃗a × ⃗c
⃗ h = (⃗a · ( ⃗ b × ⃗c)) d ⃗ + ⃗ b × ⃗c .
Aufgabe 4 Gegeben sind die Vektoren
⎛
⃗a = ⎝ 1 ⎞
⎛
−1 ⎠ und ⃗ b = ⎝ 2 ⎞
1 ⎠ .
−1
−2
Bestimmen Sie die folgenden Größen:
1. den von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkel,
2. die Fläche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms,
3. die beiden Diagonalen des Parallelogramms,
4. einen Normaleneinheitsvektor auf der von den beiden Vektoren gebildeten Fläche,
5. die Projektion von ⃗a auf ⃗ b.
Aufgabe 5 Durch die drei Punkte A = (1, 2, −4), B = (3, −1, 0) und C = (1, −1, 2) wird
ein Dreieck festgelegt. Bestimmen Sie die Längen der drei Seiten, die Innenwinkel im Dreieck
sowie den Flächeninhalt.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007