Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

34 KAPITEL 1. VEKTOREN
§ 162 Alle möglichen Sätze von Basisvektoren, die diesen Raum beschreiben, sind mathematisch
äquivalent – das für uns so gewohnte kartesische Koordinatensystem ist ein Spezialfall
dessen einzige Bedeutung darin liegt, dass wir es gewohnt sind (und es sich auf Karopapier
so gut zeichnen lässt). 13 Allen diesen Sätzen von Basisvektoren ist gemein, dass wir drei Basisvektoren
brauchen – und diese linear unabhängig sein müssen, d.h. es darf sich nicht einer
als die Summe der beiden anderen darstellen lassen, ⃗e 1 = λ⃗e 2 + µ⃗e 3 , da er in diesem Fall in
der von den beiden anderen Vektoren aufgespannten Ebene liegen würde.
§ 163 Wir haben die Basisvektoren bisher nur anschaulich eingeführt. Da sie nicht nur für
die Darstellung von Orten im Raum relevant sind sondern auch dessen Dimension bestimmen,
sollten wir eine mathematische Definition vornehmen:
Definition 12 Die Basis eines Vektorraums V ist eine Menge von Vektoren E = {⃗e 1 , . . . , ⃗e N }
mit deren Hilfe alle Vektoren des Vektorraumes eindeutig ausgedrückt werden können:
∀⃗v ∈ V : ∃λ i ∈ R mit ⃗r =
N∑
λ i ⃗e i .
i=1
Die skalaren Größen λ i sind die Koordinaten von ⃗v im Bezug auf die Basis E.
§ 164 Alle Basen zu einem gegebenen Vektorraum V enthalten die gleiche Zahl von Basisvektoren.
14 Daher lässt sich diese Zahl zur Charakterisierung des Vektorraums verwenden;
sie wird als Dimension bezeichnet:
Definition 13 Die Dimension eines Vektorraums ist bestimmt durch die Zahl von Basisvektoren,
die erforderlich ist, um die Position jedes Ortes im Raum (und damit jeden Vektor)
eindeutig zu beschreiben.
§ 165 Zurück zur Anfangs gestellten Frage nach der Zahl verschiedener Vektorräume. Da
alle Basissysteme im R n durch Transformation in einander überführt werden können, gibt es
nur einen einzigen Vektorraum der Dimension n, oder formal:
Definition 14 Es gibt nur einen Vektorraum der Dimension n, bezeichnet als R n . Mathematisch
sind alle Vektorräume mit Dimension n identisch mit R n , auch wenn sie durch
unendlich viele verschiedene Basen dargestellt werden können.
1.6.3 Abstandsmessung im Vektorraum: Skalarprodukt
§ 166 Sind wir Pythagoras wirklich näher gekommen? Das Dreieck können wir im R 2 mit
Hilfe von Vektoren beschreiben – den eigentlichen Satz des Pythagoras jedoch nicht, da dieser
keine Vektoren beinhaltet sondern Skalare: a 2 + b 2 = c 2 mit a, b, c ∈ R. Damit sind die a, b, c
aber nicht Element des Vektorraums R 2 . Die bisher definierten Operationen, Addition und
Multiplikation mit einem Skalar, sind hier nicht hilfreich; wir können sie nur verwenden,
um zu überprüfen, ob ein Vektor in die gleiche Richtung weist wie ein anderer oder in der
von zwei anderen Vektoren aufgespannten Ebene liegt. Die Überprüfung auf Linearität ist in
den Axiomen des Vektorraums verankert, nicht jedoch das Konzept einer Länge oder eines
Winkels – wir können mit dem bisher behandelten noch nicht einmal den rechten Winkel
für das Dreieck des Pythagoras im Vektorraum beschreiben. Den Abstand zwischen zwei
Vektoren im Raum können wir ebenfalls nicht beschreiben: auch dies wäre ein Skalar.
13 Die Orthogonalität der Einheitsvektoren ist ebenfalls eine angenehme Eigenschaft des kartesischen Koordinatensystems
– die Einheitsvektoren in Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten erfüllen diese Eigenschaft
ebenfalls.
14 Das Statement lässt sich relativ einfach durch Widerspruch zeigen, in dem man einen beliebigen Vektor
aus V in zwei Basen mit unterschiedlichen Zahlen von Basisvektoren darzustellen versucht und dann eine
Transformation von einem in das andere Basissystem vornimmt.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode