Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

4.3. HANDWERKSZEUG 133
Ein typisches Anwendungsbeispiel aus der Physik ist das zweite Newton’sche Axiom im
Falle einer konstanten Masse m:
F = dp
dt = d (mv) = mdv = m ˙v = ma .
dt dt
• Summenregel: lässt sich eine Funktion als Summe zweier Funktionen f(x) und g(x) darstellen,
so ist es egal, ob die Ableitung der Summe gebildet wird oder die Summe der
Ableitungen:
d
df(x)
(f(x) + g(x)) =
dx dx
+ dg(x)
dx .
Summen- und Faktorenregel gemeinsam sind Folge der Linearität der Differentiation. Mit
einem allgemeinen Operator Υ lässt sich eine lineare Operation charakterisieren als
Υ[α 1 ⃗x 1 + α 2 ⃗x 2 ] = α 1 Υ ⃗x 1 + α 2 Υ⃗x 2 .
Das ist nicht viel mehr als ein verallgemeinertes Distributivgesetz.
• Produktregel: lässt sich eine Funktion als das Produkt zweier Funktionen f(x) und g(x)
darstellen, so gilt für die Ableitung
d
d
d
(f(x) g(x)) = g(x) f(x) + f(x) g(x) . (4.2)
dx dx dx
• Kettenregel: eine Funktion f hat als Argument nicht die unabhängige Variable x sondern
eine Funktion g(x), d.h. es ist f = f(g(x)). Differentiation erfolgt in zwei Stufen: die
äußere Funktion f = f(g(x)) wird als eine Funktion f(g) aufgefasst und nach dieser Variablen
g abgeleitet. Anschließend wird mit der Ableitung der inneren Funktion g(x) nach
x multipliziert:
d
df
f(g(x)) =
dx dg
dg
dx .
Die Kettenregel wurde bei der Bestimmung einiger der Ableitungen auf der rechten Seite
von Tabelle 4.1 verwendet.
• die Quotientenregel lässt sich auf die Produktregel zurück führen:
d f(x)
dx g(x) = d (
f(x) g −1 (x) ) .
dx
Falls Sie sich im Umgang mit diesen Regeln unsicher fühlen, arbeiten Sie Abschn. C.2.2 durch.
4.3.3 Funktionen in impliziter Form
§ 520 Auch eine in impliziter Form gegebene Funktion f(x, y) = 0 lässt sich mit Hilfe der
Kettenregel direkt differenzieren:
d
df(y(x)) dy
f(x, y(x)) =
dx dy dx + df(x)
dx .
Anschließendes Auflösen nach dy/dx liefert die Ableitung, die in der Regel sowohl x als auch
y enthält. Das ist jedoch kein Problem, da für die Ableitung an der Stelle x A der Wert von x A
bekannt ist und der zugehörige Funktionswert y A mit Hilfe der Funktionsgleichung bestimmt
werden kann.
§ 521 Betrachten wir dazu ein Beispiel. Die in impliziter Form gegebene Funktion f(x, y) =
x 3 + y 2 + xy − 1 = 0 lässt sich unter Berücksichtigung der Kettenregel nach x ableiten:
df(x, y)
= 3x 2 + 2y dy
dx
dx + y + x dy
dx = 0 .
Auflösen liefert für die Ableitung der Funktion allgemein
dy
dx = + y
−3x2 2y + x ;
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007