Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

11.3. WELLENGLEICHUNG 415
A
A(x c
1)
A(x 2)=A(x 1−ct)
x 1 x
x
Abbildung 11.5: Ausbreitung einer Welle: eine
Störung A(x − ct) breitet sich unter Wahrung
ihrer Form entlang der positiven x-Achse aus
§ 1539 Eine allgemeine Lösung der eindimensionalen Wellengleichung (11.6) lässt sich mit
Hilfe der bereits in § 1514 erwähnten Variablentransformationen
u = x − ct und v = x + ct
finden. Durch die Transformation suchen wir nicht A(x, t) sondern A(u, v), d.h. wir müssen die
Wellengleichung auf die neuen Variablen transformieren. Unter Verwendung der Kettenregel
erhalten wir für die erste Ableitung
∂A(u, v)
∂x
= ∂A
∂u
∂u
∂x + ∂A ∂v
∂v ∂x = ∂A
∂u + ∂A
∂v
da ∂u/∂x = ∂v/∂x = 1. Die zweite Ableitung wird
∂ 2 A
∂x 2 = ∂ ∂A
∂x ∂x = ∂ ∂A
∂u ∂x + ∂ ∂A
∂v ∂x = ∂
∂u
( ∂A
∂u + ∂A
∂v
)
+ ∂ ( ∂A
∂v ∂u + ∂A )
= ∂2 A
∂v ∂u 2 + 2 ∂2 A
∂u ∂v + ∂2 A
∂v 2 .
Die zweite Ableitung nach der Zeit wird entsprechend gebildet. Da jedoch ∂u/∂x = −c und
∂v/∂x = c ergibt sich
∂ 2 A
∂t 2
( ∂ 2 )
= A
c2
∂u 2 − 2 ∂2 A
∂u ∂v + ∂2 A
∂v 2 .
§ 1540 Einsetzen in die eindimensionale Wellengleichung (11.6) liefert eine Differentialgleichung,
die nur aus einer gemischten Ableitung nach jeder der neuen Variablen besteht:
∂ 2 A
∂u ∂v = 0 .
Diese DGL kann direkt integriert werden. Integration über die Variable u liefert
∂A
∂v = h(v) .
Darin ist h(v) eine Integrationskonstante, die nicht von u abhängt aber dennoch eine Funktion
von v sein kann. Integration über v liefert
∫
A(x, t)= h(v) dv + g(u)=f(v) + g(u)=f(x − ct) + g(x + ct) . (11.10)
Darin ist g(u) eine Integrationskonstante, die nicht von v abhängt. Gleichung (11.10) besagt,
dass sich die Lösung der 1D-Wellengleichung als die Überlagerung zweier Funktionen f und
g darstellen lässt, die sich unter Wahrung ihrer Form in positiver bzw. negativer Richtung
entlang der x-Achse ausbreiten, vgl. Abb. 11.5. Gleichung (11.10) ist eine allgemeine Lösung,
in sie gehen keine Randbedingungen ein. Diese Gleichung besagt auch, dass alle Funktionen,
die sich in Abhängigkeit von x−ct bzw. x+ct darstellen lassen, Lösungen der Wellengleichung
sind.
§ 1541 Spezielle Lösungen der Wellengleichung sind harmonische Wellen, die sich durch die
Winkelfunktionen Sinus oder Kosinus darstellen lassen. In komplexer Form sind diese Wellen
B(x, t) = B 0 e ±i ω c (x−ct) = B 0 e ±i(kx−ωt) , (11.11)
physikalisch sinnvoll ist wieder der Realteil
A(x, t) = R(B(x, t)) = γ 1 cos(kx − ωt) + γ 2 sin(kx − ωt) .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007