Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

8.4. ANWENDUNGEN 333
Nicht vergessen: zur Überprüfung die Lösungen in das Gleichungssystem einsetzen!
8.4.2 Transformationen
§ 1253 Bereits in § 1134 haben wir gesehen, dass sich die Transformation ⃗r ′ eines Vektors
⃗r aus einem Koordinatensystem K in ein Koordinatensystem K’ mit Hilfe einer Matrix
darstellen lässt:
r ′ 1 = a 11 r 1 + a 12 r 2
r ′ 2 = a 21 r 1 + a 22 r 2
⇒
So beschreiben die Matrizen
( )
1 0
S x =
und S
0 −1
y =
( ) (
r
′
1 a11 a
=
12
r ′ 2
a 21
( )
−1 0
0 1
a 22
) (
r1
r 2
)
.
(8.21)
die Spiegelung an der x- bzw. y-Achse: S x bewirkt einen Vorzeichenwechsel in der y-Komponente
des Vektors, S y einen in der x-Komponente. Bei einer Punktspiegelung am Ursprung wechseln
beide Vorzeichen, d.h. die Punktspiegelung lässt sich mit Hilfe der Matrix
( )
−1 0
S P =
0 −1
beschreiben.
§ 1254 Eine Punktspiegelung am Ursprung entspricht einer Drehung um π. Also beschreibt
S P auch eine spezielle Drehung, nämlich die um π. Da die Drehung durch eine Funktion
des Drehwinkels ϕ dargestellt wird, können wir für eine Drehmatrix vermuten, dass auf der
Diagonalen wegen cos π = −1 der Kosinus des Winkels steht und auf der Diagonalen der
Sinus. Genaueres Nachdenken liefert als Drehmatrix für die Drehung um den Winkel ϕ gegen
den Uhrzeigersinn
( )
cos ϕ − sin ϕ
D ϕ =
,
sin ϕ cos ϕ
für die für eine Drehung im Uhrzeigersinn
( )
D − cos ϕ − sin ϕ
ϕ =
.
sin ϕ cos ϕ
Zwischenrechnung 49 Machen Sie sich, eventuell mit Hilfe von Abb. 8.3 die Vorzeichen
vor den Sinus-Termen klar.
§ 1255 Wir können die spezielle Form der Drehmatrix auch formaler begründen. Allgemein
bewirkt eine Matrix A eine Abbildung von einem Koordinatensystem mit den Basen ⃗e alt
1 und
⃗e alt
2 auf ein Koordinatensystem mit den Basisvektoren ⃗e neu
1 und ⃗e neu
2 . Dann müssen natürlich
auch die Basisvektoren in diesem System transformiert werden, d.h. es gilt
⃗e neu
1 = A⃗e alt
1 und ⃗e neu
2 = A⃗e alt
2 .
Nehmen wir als ‘alte’ Koordinaten die Basisvektoren des kartesischen Koordinantensystems,
⃗e alt
1 = (1, 0) und ⃗e alt
2 = (0, 1), so erhalten wir für die Basisvektoren im neuen System
( )
( )
⃗e neu a11
1 =
und ⃗e neu a21
2 = :
a 21 a 22
die transformierten Basisvektoren sind also die Spalten der Transformationsmatrix!
§ 1256 Die die Spiegelungen beschreibenden Matrizen S x , S y und S P sind der Gestalt, dass
das Skalarprodukt der jeweiligen Spalten- bzw. Zeilenvektoren verschwindet. Dann sind die
Spalten- und Zeilenvektoren jeweils orthogonal. Dies gilt auch für die Drehmatrix D ϕ . Reflektionen
oder Drehungen können also durch orthogonale Matrizen dargestellt werden. Da
für eine orthogonale Matrix gemäß Definition 78 gilt A −1 = A T , lassen sich die Inversen der
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007