Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

362 KAPITEL 9. VERALLGEMEINERTE FUNKTIONEN
Abbildung 9.2: Gamma Funktion
als verallgemeinerte Fakultät
für beliebige reelle Werte x. Ist x
eine natürliche Zahl n, so nimmt
die Gamma Funktion den Wert
Γ(n) = (n − 1)! an
§ 1354 Für x ≥ 2 lässt sich (9.12) partiell integrieren. Mit v ′ = e −z und u = z x−1 ist
Γ(x) = [ −z x−1 e −z] ∫∞
∞
0 + (x − 1) z x−2 e −z dz = (x − 1)
0
∫ ∞
0
z x−2 e −z dz
und damit Γ(x) = (x − 1) Γ(x − 1). Eine Fortsetzung dieses Verfahrens liefert
Γ(x) = (x − 1) (x − 2) Γ(x − 2) = (x − 1)(x − 2) . . . 1 = (x − 1)! .
§ 1355 In dieser Gleichung erkennen wir das Bildungsgesetz für die Fakultät wieder; wir
haben jedoch eine Erweiterung, da sich dieses Bildungsgesetz nicht auf natürliche Zahlen
beschränkt sondern auf alle positiven reellen Zahlen angewendet werden kann. So ist z.B.
( 3
Γ =
2)
1 ( ) √ 1 π
2 Γ =
2 2 ,
da gemäß (9.12)
( 1
Γ =
2)
∫ ∞
0
z −1/2 e −z dz z=u2
= 2
∫ ∞
0
e −u2 du = √ π .
§ 1356 Die Γ Funktion kann auch auf negative Werte erweitert werden, der Verlauf der Γ
Funktion ist in Abb. 9.2 skizziert. Wir sind der Γ Funktion bei der Betrachtung der Bessel
Funktion als einer durch eine Differentialgleichung definierten Funktion in Kap. 7.7.3 bereits
begegnet.
§ 1357 Die Γ Funktion kann auch bei recht alltäglichen Problemen wie der Integration hilfreich
sein. Betrachten wir dazu das bestimmte Integral
∫ ∞
0
x e −cx4 dx mit c = const .
Substitution von u = cx 4 liefert x = (u/c) 1/4 und dx = 1
4c 1/4 u −3/4 du. damit ergibt sich für
das Integral
∫ ∞
0
x e −cx4 dx = 1
4 √ c
∫ ∞
0
e u 1
du =
u1/4 4 √ c
∫ ∞
0
u 1/2 e −u du = 1 ( ) 1
4 √ c Γ 2
= 1 4
√ π
c .
Durch die Substitution lässt sich das Integral in eine Form überführen, die die Γ-Funktion
enthält. Da deren Werte tabelliert sind, ist die Lösung des Integrals kein Problem mehr.
§ 1358 Die Γ Funktion erlaubt es ferner, eine einfache Näherungsformel für die Fakultät
großer Zahlen anzugeben. Diese Stirling’sche Näherungsformel ist
Γ(x + 1) = x! ≈ 1 √
2πx
x x e −x (9.13)
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode