Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

4.2. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN 127
Abbildung 4.4: Beispiel für eine differenzierbare
aber nicht stetig differenzierbare
Funktion
Höhere Ableitungen
§ 496 Da die Ableitung f ′ (x) einer Funktion f(x) ihrerseits eine Funktion ist, lässt sie sich
ableiten:
d
dx f ′ (x) = d ( ) df(x)
= d df(x)
dx dx dx dx
= d2 f(x)
dx 2 = d2
dx 2 f(x) = f ′′ (x)
Da die erste Ableitung die ‘Rate der Veränderung der Funktion’ gibt, gibt diese zweite Ableitung
die ‘Rate der Veränderung der Rate der Veränderung der Funktion’. Physikalisch ist
die Rate der Änderung des Weges mit der Zeit die Geschwindigkeit. Die zweite Ableitung
des Weges nach der Zeit, die Beschleunigung, können wir dann interpretieren als die Rate
der Änderung der Geschwindigkeit oder die Rate der Änderung der Rate der Änderung des
Weges.
§ 497 So lange die Ableitung wieder eine differenzierbare Funktion ist, lässt sich der Vorgang
beliebig wiederholen. Diese höheren Ableitungen lassen sich rekursiv definieren:
d n
dx n f(x) = d ( )
d
n−1
dx dx n−1 f(x) = d ( ( ))
d d
n−2
dx dx dx n−2 f(x) = . . . = d d
dx dx . . . d
dx f(x) .
§ 498 Eine differenzierbare Funktion hat zwar eine Ableitung, jedoch ist diese nicht zwingend
differenzierbar. Die Funktion
{
f(x) = x
2
falls x ≥ 0
0 falls x < 0
ist für x ≠ 0 sicherlich differenzierbar. Sie ist auch für x = 0 differenzierbar: anschaulich, da
es eine eindeutige Tangente gibt; formal, da der rechts- und der linsksseitige Grenzwert des
Differenzenquotienten zusammen fallen. Als Ableitung erhalten wir
{
f ′ 2x falls x ≥ 0
(x) =
0 falls x < 0 .
Diese Funktion hat, wie bereits in § 492 im Zusammenhang mit (4.1) diskutiert, bei x = 0
keine eindeutige Tangente und ist daher in diesem Punkt auch nicht differenzierbar.
Differential
§ 499 Die Ableitung ist über den Differentialquotienten definiert als
f ′ (x) = df(x)
dx
= dy
dx .
Das Differential der Funktionswerte lässt sich daraus schreiben als
df(x) = dy = f ′ (x) dx .
Es beschreibt, wie sich die Funktionswerte entwickeln, wenn man von einem Argument x um
ein Stückchen dx weitergeht.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007