Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

12.2. VERTEILUNGSFUNKTIONEN 449
§ 1675 Eine Münze wird zehnmal geworfen. Die Zufallsvariable X Zahl des Auftretens von
’
Kopf‘ ist dann binominalverteilt mit p = q = 0.5 und n = 10. Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung
ergibt sich
( )
10
f(x) = P (X = x) = 0.5 10−x · 0.5 x (12.8)
x
oder
x 0 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 9.7E-4 0.0098 0.0439 0.1172 0.2051 0.2461 0.2051 0.1172
wie auch in Abb. 12.5 dargestellt. Die Wahrscheinlichkeit, dass Zahl kein mal geworfen wurde
(X = 0), lässt sich aus dieser Verteilung bestimmen zu P (X = 0) = 0.001, die Wahrscheinlichkeit,
dass Zahl genau zweimal geworfen wurde zu P (X = 2) = 0.044 und die Wahrscheinlichkeit,
dass Zahl mindestens viermal auftritt zu P (X ≥ 4) = 1 − P (X ≤ 3) = 0.83.
§ 1676 Für das nächste Beispiel begeben wir uns unter die Falschspieler. Eine bleibehaftete
Münze wird zehnmal geworfen, die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von Zahl ist p = 0.3.
Die Zufallsvariable X für die Gesamtzahl der erhaltenen Ergebnisse Zahl‘ ist binominalverteilt
mit p = 0.3 und q = 0.7, d.h. die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist ’
( )
10
f(x) = P (X = x) = 0.7 10−x · 0.3 x
x
oder
x 0 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 0.0282 0.1211 0.2335 0.2668 0.2001 0.1029 0.0368 0.0090
wie auch in Abb. 12.5 dargestellt. Die Wahrscheinlichkeit, dass Zahl kein mal geworfen wurde
(X = 0), beträgt jetzt P (X = 0) = 0.028, die Wahrscheinlichkeit, dass Zahl genau zweimal
geworfen ist mit P (X = 2) = 0.2335 größer als bei der ungefälschten Münze und näher am
Erwartungswert µ = pn = 3.3. Die Wahrscheinlichkeit, dass Zahl mindestens viermal auftritt,
ist P (X ≥ 4) = 1 − P (X ≤ 3) = 0.3504.
§ 1677 Eine bestimmter Speicherbaustein wird mit einer Fehlerrate von 1.2% produziert. Die
Wahrscheinlichkeit, in einer Packung mit 150 Stück genau einen (genau zwei) fehlerhafte(n)
Baustein(e) zu haben, wird durch die Binominalverteilung mit p = 0.012 und n = 150
beschrieben:
bzw.
p 1 =
p 2 =
(
150
1
)
0.012 1 · 0.998 149 = 0.297
( )
150
0.012 2 · 0.998 148 = 0.269 .
2
Auf Grund der großen Zahl hätten wir hier auch eine Poisson-Verteilung verwenden können.
12.2.4 Poisson-Verteilung
§ 1678 Ist die Wahrscheinlichkeit p für das Auftreten eines Ereignisses sehr klein (z.B. beim
radioaktiven Zerfall), so genügt die Verteilung der diskreten Poisson-Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion
f(x) = P (X = x) = µx
x! e−µ (12.9)
und der zugehörigen Verteilungsfunktion
F (x) = P (X ≤ x) = e −µ ∑ k≤x
µ k
k! .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007