Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

11.3. WELLENGLEICHUNG 419
Damit ist b 11 = 0 und (11.19) reduziert sich auf
( πx
) ( πx
)
A 11 = a 11 cos(ω 11 t) sin sin .
a b
Einsetzen der vorgegebenen Anfangsbedingung liefert
( πx
) ( πy
)
( πx
) ( πx
)
sin sin = a 11 cos(ω 11 0) sin sin
a b
a b
oder a 11 = 1. Damit ergibt sich als spezielle Lösung der partiellen Differentialgleichung für
die vorgegebenen Anfangsbedingungen
(√ )
a2 + b
A = cos
2 ( πx
) ( πx
)
a 2 b 2 cπt sin sin .
a b
Der Term in der Klammer gibt wieder den Eigenwert, der Term dahinter die Eigenfunktion
oder Eigenmode.
11.3.4 Zweidimensionale Welle: Schwingende Kreismembran
§ 1552 Statt der rechteckigen betrachten wir eine runde Membran mit Radius a. Auch diese
ist entlang ihres Umfangs fest eingespannt. Das Problem kann analog zur Rechteckmembran
gelöst werden, allerdings legt die Geometrie die Verwendung von Polarkoordinaten nahe:
A = A(r, ϕ, t). Die Randbedingungen sind wieder Dirichlet’sche Randbedingungen, hier wird
A(a, ϕ, t) = 0.
§ 1553 Der Laplace Operator in Polarkoordinaten ergibt sich aus dem in Zylinderkoordinaten
(10.8) unter Vernachlässigung der z-Abhängigkeit:
∇ 2 = ∂2
∂r 2 + 1 r
∂
∂r + 1 ∂ 2
r 2 ∂ϕ 2 .
Damit wird die Wellengleichung zu
∂ 2 A
∂r 2
+ 1 r
∂A
∂r + 1 ∂ 2 A
r 2 ∂ϕ 2 = 1 ∂ 2 A
c 2 ∂t 2 .
§ 1554 Zuerst separieren wir den räumlichen und den zeitlichen Anteil. Allgemein gilt A(r, ϕ, t) =
R(r, ϕ) T (t). Bei Beschränkung auf kreissysmmetrische Lösungen reduziert sich dies auf
A(r, t) = R(r) T (t) .
Der Ansatz wird in die Differentialgleichung eingesetzt und wir erhalten
(
T (t) R ′′ (r) + 1 )
r R′ (r) = 1 c 2 R(r) T ′′ (t)
oder nach Umformen
1
R(r)
(
R ′′ (r) + 1 r R′ (r)
)
=
1
c 2 T (t) T ′′ (t) .
Als Separationskonstante wählen wir −β 2 und erhalten die beiden gewöhnlichen DGLs
0 = T ′′ (t) + β 2 c 2 T (t) und 0 = R ′′ (r) + 1 r R′ (r) + β 2 R .
Die Differentialgleichung für T (t) ist wieder eine Schwingungsgleichung, d.h. wir erhalten für
die Zeitabghängigkeit
T (t) = γ 1 cos(βct) + γ 2 sin(βct) . (11.20)
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007