Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

9.5. MATHEMATISCHE ERGÄNZUNGEN 365
und wir erhalten für das gesuchte Integral
F = √ 2 ∫1
e −u2 du = erf(1) = 0.843 :
π
0
84% der Teilchen haben Geschwindigkeiten kleiner gleich der thermischen Geschwindigkeit.
§ 1365 Um den Anteil der Moleküle im Gas mit einer Geschwindigkeitskomponente v x > v 0
zu bestimmen, ist die komplementäre Error-Funktion erfc(x) hilfreich, definiert als
erfc(x) = 1 − erf(x) = √ 2 ∫∞
e u2 du .
π
Auch diese ist in Abb. 9.4 dargestellt.
9.5 Mathematische Ergänzungen
x
9.6 Verallgemeinerte Funktionen in MatLab
§ 1366 Viele verallgemeinerte Funktionen wie Legendre-Polynome, die Gamma-Funktion
oder die Error-Funktion sind tabelliert. Entsprechend bilden diese Funktionen auch für
MatLb kein Problem und können wie z.B. die trigonometrischen Funktionen verwendet werden:
entweder übergeben wir einen einzelnen Wert um den Funktionswert an dieser Stelle zu
bestimmen oder wir übergeben einen Vektor von Werten, z.B. um die Funktion anschließend
zu plotten.
§ 1367 Die Gamma Funktion wird in MatLab durch den Befehl gamma aufgerufen. Als Pa- gamma
rameter wird der Funktion ein Vektor übergeben; die Funktion gibt einen Vektor zurück,
dessen Elemente die Werte der Gamma Funktion an den durch den ersten Vektor spezifizierten
Stützstellen sind. Der Aufruf
>> x=[-5:0.01:5]; y = gamma(x); plot(x,y) ←↪
stellt z.B. die Gamma Funktion im Bereich von -5 bis +5 graphisch dar. Da die Gamma
Funktion nur für reelle Argumente definiert ist, muss der Vektor x der Argumente reell sein.
§ 1368 Da es der gamma Funktion nicht an Polstellen mangelt, vgl. Abb. 9.2, sollte man beim
Plotten den darzustellenden Abschnitt der Ordinate spezifizieren. Auch eine logarithmische
Darstellung kann sinnvoll sein. In diesem Fall können die Werte in der Nähe der Polstellen
zu Werten führen, die für MatLab zu klein oder zu groß sind. MatLab stellt daher auch
eine logarithmierte Gamma Funktion gammaln zur Verfügung mit
gammaln(x) = log(gamma(x))
Beachten Sie, dass dabei der natürliche Logarithmus der Gamma Funktion gebildet wird,
nicht der dekadische!
§ 1369 Die Error Funktion wird in MatLab entsprechend behandelt. Die Erroorfunktion
wird mit Hilfe des Befehls erf aufgerufen, die komplementäre Error Funktion mit erfc.
§ 1370 Die Bessel Funktionen erfordern in MatLab etwas mehr Aufmerksamkeit. Bessel
Funktionen erster Art werden mit Hilfe von besselj erzeugt. Zusätzlich wird ein Parameter
(oder Vektor von Parametern) n übergeben, der die Ordnung der zu bestimmenden Bessel
Funktion angibt:
J=besselj(n,x)
Die Bessel Funktion zweiter Art wird in MatLab entsprechend behandelt; ihr Aufruf erfolgt
mit bessely. Eine entsprechende Syntax gilt auch für die Legendre Polynome, aufgrufen mit
legendre. Nähere Informationen (und Beispiele) finden Sie in der MatLab Hilfe.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007
gammaln
erf
erfc
besselj
bessely
legendre