Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.5. DGL ZWEITER ORDNUNG AM BEISPIEL DES FEDERPENDELS 247
Abbildung 7.4: Lösung für die
gedämpfte Schwingung im Schwingfall:
die Schwingungsfrequenz ist
geringer als die der ungedämpften
Schwingung (ω < ω 0 ) und die
Amplitude nimmt mit e −γt ab
beschrieben. Der Exponentialansatz x = e λt liefert wegen ẋ = λe λt = λx und ẍ = λ 2 e λt =
λ 2 x
λ 2 x + 2λγx + ω 2 0x = 0
und damit als charakteristische Gleichung für die nicht-triviale Lösung x ≠ 0
λ 2 + 2λγ + ω 2 0 = 0 .
Für die Eigenwerte λ 1,2 ergibt sich daraus
√
λ 1,2 = −γ ± γ 2 − ω0 2 .
§ 942 Die Eigenschaften der Lösung sind, wie bereits in Abschn. 7.4.1 beschrieben, vom
Radikanden abhängig:
• γ 2 < ω 2 0 liefert zwei komplexe Eigenwerte und beschreibt den Schwingfall: hier ist die durch
γ quantifizierte Reibung nicht groß genug, um die Schwingung völlig zu unterdrücken;
stattdessen wird die Amplitude der Schwingung gedämpft:
x(t) = e −γt (a cos(ω 0 t) + b sin(ω 0 t)) .
• γ 2 > ω 2 0 liefert zwei reelle Lösungen und beschreibt den Kriechfall. Hier ist die Dämpfung
so stark, dass sich der Oszillator der Ruhelage annähert ohne dass es zu einem Schwingen
durch diese kommt:
x(t) = e −γt ( ae˜ωt + be −˜ωt) .
• γ 2 = ω 2 0 liefert eine reelle Lösung und beschreibt den aperiodischen Grenzfall: auch hier
ist die Dämpfung zu stark, als dass es noch zu einer Schwingung kommt. Der Oszillator
nähert sich der Ruhelage an, kann aber im Gegensatz zum Kriechfall in Abhängigkeit von
den Anfangsbedingungen noch einmal durch diese hindurch schwingen:
x(t) = (a + bt) e −γt .
Schwingfall (schwache Dämpfung)
§ 943 Für den Schwingfall ergeben sich die komplexen Eigenwerte
√
√
λ 1,2 = −γ ± ı ω0 2 − γ2 = −γ ± iω mit ω = ω0 2 − γ2 .
Die (komplexwertige) Lösung ist damit
x c (t) = e −γt ( Ae ıω0t + Be −iω0t) mit A, B, x c ∈ C ∧ γ, ω 0 , t ∈ R
mit komplexwertigen Integrationskonstanten A und B. Der physikalisch relevante Teil der
Lösung ist wieder der Realteil von x c (t):
x(t) = R{x c (t)} = e −γt (a cos(ω 0 t) + b sin(ω 0 t)) mit a, b, γ, ω 0 , x, t ∈ R . (7.19)
Bis auf den die Dämpfung beschreibenden Vorfaktor e −γt ergibt sich die Lösung des harmonischen
Oszillators, siehe Abb. 7.4, allerdings ist die Frequenz ω gegenüber der Frequenz ω 0
der freien Schwingung verringert.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007