Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

280 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Abbildung 7.20: Schemata für verschiedene
numerische Verfahren zur Lösung
gewöhnlicher Differentialgleichungen
§ 1053 In der bisher beschriebenen Version des Euler Verfahrens haben wir die Steigung
am unteren Ende des jeweiligen Zeitschritts verwendet. Das Verfahren wird als Vorwärts
Methode bezeichnet. Da in diesem Verfahren der Wert x(t i+1 ) nur vom vorangegangenen
Wert x(t i ) abhängt, handelt es sich um ein explizites Verfahren.
Euler Rückwärts
§ 1054 Alternativ können wir auch die (noch nicht bekannte) Steigung am Ende des Integrationsintervalls
verwenden:
x(t i+1 ) = x(t i ) + ∆t f(t i+1 , x i+1 )
mit x(t 0 ) = x 0 und t i = t 0 +i∆t. Dieses Verfahren wird als Rückwärts Methode bezeichnet. Im
Gegensatz zum Vorwärts Verfahren hängt der Wert x(t i+1 ) nicht nur vom vorher bestimmten
Wert x(t i ) ab sondern auch vom zu bestimmenden Wert f(t i+1 , x i+1 ). Das Verfahren ist daher
ein implizites. Das Verfahren ist schematisch im Vergleich zum Euler Vorwärts Verfahren in
Abb. 7.20 dargestellt.
§ 1055 Das implizite Euler Verfahren konfrontiert uns mit dem Problem, dass der zu bestimmende
Wert x(t i+1 ) zu seiner Bestimmung benötigt wird. Daher muss eine Annäherung
an x(t i+1 ) vorgenommen werden bevor dieser Wert bestimmt werden kann. Dazu gibt es ein
einfaches näherungsweises Verfahren und ein komplexeres Verfahren durch Iteration.
§ 1056 Die näherungsweise Berechnung erfolgt in zwei Schritten: (1) im Prädikatorschritt
wird der Wert an der Stelle i + 1 mit dem Vorwärts-Verfahren berechnet:
x P (t i+1 ) = x(t i ) + ∆t f(t i , x i ) .
Im Korrektorschritt wird dieser Wert zur Bestimmung der Steigung verwendet und damit
der eigentlich gesuchte Wert an der Stelle i + 1 bestimmt:
x(t i+1 ) = x(t i ) + ∆t f(t i+1 , x P i+1) .
Dieses Verfahren wird auch als modifiziertes Euler Verfahren bezeichnet.
§ 1057 Das modifizierte Euler Verfahren ist noch ein explizites Verfahren. Ein echtes implizites
Verfahren entsteht durch Iteration, z.B. Fixpunkt Iteration:
x (k+1)
i+1 = x i + ∆t f(t i+1 , x (k)
i+1 ) mit k = 1, 2, 3 . . . und y(0) i+1 = y i .
Diese Iteration ist zeitaufwendig, ihre Darstellung geht über die Ziele dieses Skripts hinaus.
Crank–Nicolson Verfahren
§ 1058 Das Crank–Nicolson Verfahren kombiniert die Vorwärts und Rückwärts Methoden
aus dem Euler Verfahren:
x(t i+1 ) = x(t i ) + ∆t
2 (f(t i, x i ) + f(t i+1 , x i+1 ))
mit x(t 0 ) = x 0 und t i = t 0 + i ∆t. Durch die Kombination der beiden Euler Verfahren ist das
Crank–Nicolson Verfahren ein kombiniertes explizites/implizites Verfahren.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode