Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

6.5. SCHNEEFLOCKE TRIFFT APFELMÄNNCHEN AN KÜSTENLINIE 217
Abbildung 6.5: Schneeflocken [34];
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http://www.snowcrystals.com/
Abbildung 6.6:
Koch’sche Schneeflocke:
links die Ausgangsfigur,
rechts die ersten
beiden Schritte in der
Konstruktion
abnehmender Länge der Peilstrecken zu. Immer noch zu ungenau, daher wird Messung mit
konventionellen Methoden, also einem Maßstab, angeordnet. Das Problem der Peilstrecke
bleibt erhalten: auch dieses Verfahren liefert stückweise Diskretisierung. Allerdings werden
jetzt nicht mehr, wie beim Peilverfahren, kleinere Buchten übersehen. Stattdessen beginnen
die Landvermesser, jede Ausbeulung durch einen halb im Wasser liegenden Felsen mit zu
vermessen.
§ 853 Eine Eigenschaften der Küstenlinie führt zu diesem Problem: sie ist selbstähnlich.
Selbstähnlichkeit bedeutet, dass sich Strukturen auf verschiedenen Größenskalen immer wieder
holen: Buchten und Landvorspünge sehen wir auf den unterschiedlichsten räumlichen
Skalen. Da sind die Buchten der großen Flüsse und die Halbinseln bei Betrachtung der ganzen
Insel; da sind die Einschnitte der Bäche und die kleinen Landzungen bei Betrachtung
einer Bucht oder Halbinsel; da sind die Vorwölbungen von Felsen ins Wasser und die kleinen
Einschnitte zwischen ihnen. Wir können dies bis auf die Ebene des Sandkorns fortsetzen.
§ 854 Selbstähnlichkeit ist ein verbreitetes Phänomen in der Natur. Ähnlich offensichtlich,
jedoch auf deutlich kleinerem Maßstab, tritt sie bei Schneeflocken auf, siehe Abb. 6.5. Insbesondere
dendritische Flocken zeigen eine hohe fraktale Dimension, bei eher hexagonalen
Flocken (wie im Beispiel rechts unten) ist diese eher gering.
§ 855 Die Koch’sche Schneeflocke, 1904 von H. von Koch [28] eingeführt, kann als erster
Einstieg in die mathematische Beschreibung von Fraktalen verwendet werden. 11 Geometrisch
11 Koch hat bei seiner Arbeit weniger an Fraktale gedacht als vielmehr an die Konstruktion einer stetigen
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007