Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

292 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Abbildung 7.25: Lösung der DGL aus
Abb. 7.22 mit Hilfe des Leapfrog
Verfahrens
§ 1099 Für das MatLab-Skript können wir das beim Euler Verfahren verwendete Skript
recyclen, in dem wir dort nur die mit der numerischen Lösung befassten Zeilen durch die
folgenden ersetzen:
x(1)=2; t2=t-dt/2; x2(1)=x(1)-dt/2*(t(1) ∧ 2+4+x(1))/t(1);
for i=2:length(t);
x2(i)=x2(i-1) + dt*feval(fh,t(i-1),x(i-1));
x(i)=x(i-1) + dt*feval(fh,t2(i),x2(i));
end
§ 1100 Die erste Zeile gibt wieder die in der Aufgabenstellung vorgegebene Randbedingung
sowie zusätzlich das um die halbe Schrittweite verschobene Gitter und dessen Anfangspunkt.
In der folgenden Schleife werden die beiden Gleichungen des Schemas abwechselnd durchlaufen.
Dabei muss zuerst das verschobene Gitter verwendet werden und dann das Ausgangsgitter,
da sonst dem numerischen Verfahren der in der Intervallmitte benötigte Wert fehlt.
leapfrogskript
leapfrog
§ 1101 Das vollständige Skript ist im File leapfrogskript enthalten. Das Ergebnis ist in
Abb. 7.25 gezeigt. Die relative Abweichung von der analytischen Lösung ist im gesamten betrachteten
Integrationsintervall kleiner als 10 −3 ; das ist bei gleicher Schrittweite eine um fast
zwei Größenordnungen kleinere Abweichung als beim Euler-Verfahren – allerdings erkauft um
den Preis der Verdopplung des Gitters. Eine Halbierung der Gitterweite im Euler-Verfahren
hätte die relative Abweichung auf unter 0.01 reduziert, d.h. bei gleicher Zahl der Gesamtschritte
des numerischen Schemas ist die relative Abweichung im Euler Verfahren in diesem
Beispiel einen Faktor 50 größer als im Leapfrog Verfahren.
§ 1102 Neben dem Skript leapfrogskript gibt es wieder als Ableitung davon eine Funktion
leapfrog, die in Ein- und Ausgabeparametern und Syntax den beiden Euler-Funktionen
entspricht.
7.10.4 Runge–Kutta Verfahren 4. Ordnung
§ 1103 Das Runge–Kutta Verfahren kann man sich als eine Kombination aus Euler Verfahren
und Leapfrog Verfahren veranschaulichen: zwar wird wie bei Euler nur ein Raster in x
verwendet, jedoch wird ähnlich der Idee im Leapfrog-Verfahren eine mittlere Steigung im
Intervall eingeführt. Mathematisch korrekter bedeutet dies, wie beim Simpson Verfahren der
numerischen Integration, die Annäherung der Funktion durch ein Polynom – die Ordnung
des Polynoms bestimmt gleichzeitig auch die Ordnung des Runge–Kutta Verfahrens.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode