Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

8.5. DEEP BLUE LEGT HAND AN: MATRIZEN UND ROBOTER 345
Abbildung 8.7: Ort der beiden Massen
beim gekoppelten Federpendel;
die Kurve x 1 ist zur besseren Darstellung
um +1, die andere um -1
verschoben
§ 1297 Formal unterscheidet sich die dieses Gleichungssystem von (8.30) dadurch, dass es
ein System aus DGLs 2. Ordnung ist. Wir machen einen Exponentialansatz ⃗x = ⃗ue λt und
damit ˙⃗x = λ⃗ue λt und ¨⃗x = λ 2 ⃗ue λt . Einsetzen des Ansatz in die DGL (8.34) liefert λ 2 ⃗u = A⃗u,
d.h. die charakteristische Gleichung für λ ist gegeben als
∣ ∣ −2ω2 0 − λ 2 ω0
2 ∣∣∣
!
ω0 2 −2ω0 2 − λ 2 = 0
oder
(2ω 2 0 − λ 2 )(2ω 2 0 − λ 2 ) − ω 4 0
!
= 0 .
Diese Gleichung ist erfüllt für λ 2 1 = −ω 2 0 und λ 2 2 = −3ω 2 0, d.h. wir erhalten λ 1 = iω 0 und
λ 2 = i √ 3 ω 0 . Die allgemeine komplexe Lösung ist daher
⃗z(t) = ⃗ A 1 e iω0t + ⃗ A 2 e −iωot + ⃗ A 3 e i√ 3ω 0t + ⃗ A 4 e −i√ 3ω 0t
mit den aus den Anfangsbedingungen zu bestimmenden komplexen Integrationskonstanten
⃗A i .
§ 1298 Die Lösung λ 1 entspricht der für den harmonischen Oszillator. In diesem Fall schwingen
beide Massen in Phase, verhalten sich also wie eine einzige Masse (es ist egal, ob sie durch
die mittlere Feder gekoppelt sind oder nicht) und die Lösung ist für Anfangsbedingungen maximale
Auslenkung ⃗x 0 = (x 0 , x 0 ) und verschwindende Geschwindigkeit ˙⃗x 0 = 0
⃗x(t) = ⃗x 0 cos (ω 0 t) .
Die Lösung λ 2 entspricht der Situation, dass beide Massen genau entgegengesetzt schwingen,
wie in Abb. 8.6 angedeutet.
Für andere Anfangsbedingungen, z.B. Auslenkung der Masse m 2 um x 2,0 ohne Auslenkung
der anderen Masse und ohne Anfangsgeschwindigkeiten, ergeben sich Lösungen, die eine
Überlagerung beider Frequenzen beinhalten (vgl. Abb. 8.7), in diesem Fall
⃗x(t) = x 2,0
2
(
cos (ω0 t) − cos ( √ 3 ω 0 t)
cos (ω 0 t) + cos ( √ 3 ω 0 t)
)
.
8.5 Deep Blue legt Hand an: Matrizen und Roboter
§ 1299 Schachcomputer sind nicht wirklich der letzte Schrei. Im Gegenteil, sie gehören zu den
frühesten kommerziellen Computerspielereien und spielen seit einem Jahrzehnt auch auf dem
Niveau eines Großmeisters (z.B. Deep Blue vs. Kasparov, siehe auch http://researchweb.
watson.ibm.com/deepblue/). Auch wenn die Wahl der Züge beeindruckend ist, die Umsetzung
auf einem realen Schachbrett lässt zu wünschen übrig. Aber schließlich ist es ein
Schachcomputer kein Schachroboter.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007