Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

9.2. DIE DIRAC’SCHE DELTA FUNKTION 359
Der erste Term verschwindet, da x n eine Nullstelle ist. Dann bleibt als erste Ordnung der
Taylor Entwicklung
[ ] dh
h(x) = (x − x n ) = h ′ (x n ) (x − x n ) = c (x − x n )
dx
x n
mit c = h ′ (x n ) als Konstante.
§ 1339 Einsetzen dieser Entwicklung in die δ Funktion und Berücksichtigung von § 1337
liefert
∫ ∞
∫ ∞
δ(h(x)) f(x) dx = δ(c (x − x n )) f(x) dx = 1 ∫ ∞
δ(x − x n ) f(x) dx
|c|
−∞
=
−∞
1
|h ′ (x n )|
∫ ∞
−∞
und damit nach Vergleich der Integranden
δ(h(x)) =
1
|h ′ (x n )| δ(x − x n) .
δ(x − x n )f(x) dx
§ 1340 Hat die Funktion mehrere Nullstellen, so lässt sich dies erweitern auf
δ(h(x)) =
N∑
i=1
1
|h ′ (x n,i )| δ(x − x n,i) . (9.7)
Diese Zerlegung ist nur möglich, wenn die Ableitungen an der Nullstelle h ′ (x n ) nicht verschwinden,
d.h. die Funktion muss an der Nullstelle die x-Achse schneiden.
§ 1341 Betrachten wir ein Beispiel. δ(x 2 − 4x + 3) ist eine δ Funktion der Form δ(h(x)) mit
h(x) = x 2 − 4x + 3. Die Nullstellen von h(x) sind x n1 = 1 und x n2 = 3, die Ableitung ist
h ′ = 2x − 4 und nimmt an den Nullstellen die Werte h ′ (x n1 ) = −2 und h ′ (x n2 ) = +2 an.
Nach (9.7) erhalten wir
δ(x 2 − 4x + 3) = 1 2 δ(x − 1) + 1 2 δ(x − 3) = 1 2
[δ(x − 1) + δ(x − 3)] .
9.2.5 Differenzieren und Integrieren: Heavyside-Funktion
§ 1342 Obwohl die δ Funktion keine well-behaved Funktion ist, lässt sie sich im Sinne einer
verallgemeinerten Funktion differenzieren. Für ihre Ableitung gilt
∫ ∞
−∞
f(x) δ ′ (x − x 0 ) dx = −f ′ (x 0 )
bzw. verallgemeinert auf die n te Ableitung
∫ ∞
−∞
f(x)δ (n) (x − x 0 ) dx = (−1) n f (n) (x 0 ) .
Die Ableitung der δ Funktion bewirkt also, dass die Ableitung der Funktion f(x) gebildet
wird – zusätzlich versehen mit einem Vorzeichen (−1) n .
§ 1343 Interessanter ist das Integral der δ Funktion, da es seinerseits eine eigene wichtige
Funktion bildet, die Heavyside Funktion. Welche Form hat eine Funktion, deren Ableitung
die δ Funktion ist, d.h. deren Ableitung überall verschwindet und nur an einer Stelle einen
von Null verschiedenen Wert annimmt? Die Funktion muss an allen Stellen ungleich der
Nullstelle x 0 der δ Funktion konstant sein und sich nur bei x 0 sprunghaft ändern. Auf Grund
dieser Eigenschaft wird sie auch als Sprungfunktion bezeichnet.
−∞
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007