Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

82 KAPITEL 3. FUNKTIONEN
§ 320 Ein Mathematiker hat einen anderen Zugang zu Funktionen. Für den Mathematiker
sind Folgen (und daraus abgeleitet Reihen) die einfacheren Formen der Zuordnung oder
Abbildung, da eine unendlich große Menge von ‘Funktionswerten’ a n auf die natürlichen
Zahlen abgebildet wird:
a n = f(n) n ∈ N .
Die Funktionswerte sind diskret; die Stellen n, an denen sie gebildet werden, ebenfalls. Alle
bisher betrachteten wichtigen Definitionen und Sätze im Zusammenhang mit Folgen haben
sich mit Situationen beschäftigt, in denen n gegen Unendlich strebt.
§ 321 Anders eine Funktion f(x) in R, d.h. eine Funktion, die beliebige reelle Werte x ∈
R als Input annehmen kann. Dann liegen zwischen zwei der ursprünglichen Variablen n
unendlich viele Variable, ja selbst zwischen zwei eng benachbarten reellen Variablen liegen
noch unendlich viele weitere. Daher muss das Konzept des Grenzwerts ausgeweitet werden
von dem Fall n → ∞ auf x → a, wobei a jede beliebige reelle Zahl sein kann. Anstelle
eines Grenzwerts tritt damit eine unendlich große Zahl potentieller Grenzwerte. Daher zeigen
Funktionen wesentlich mehr Strukturen als wir sie von Folgen kennen. So können Funktionen
stetig und differenzierbar sein, beides Konzepte, sie sich für eine Folge nicht definieren lassen.
Andererseits lassen sich die von Folgen bekannten Konzepte wie Monotonie und Grenzwert
problemlos auf Funktionen erweitern.
3.2 Grundlagen
§ 322 Die Funktion wird als eindeutige Zuordnungsvorschrift definiert, die wesentlichen Begriffe
wie Grenzwert und Stetigkeit werden eingeführt.
3.2.1 Definition
§ 323 Wir werden in diesem Kapitel von der Vorstellung einer Funktion als Zuordnungsvorschrift
ausgehen und daher die folgende Definition wählen:
Definition 24 Eine Funktion f(x) ordnet jedem Element x ihres Definitionsbereichs D eindeutig
ein Element y ihres Wertebereichs W zu: y = f(x)
§ 324 Eine Funktion ist eine Zuordnungsvorschrift zwischen einer unabhängiggen Variablen
x, auch als Argument bezeichnet, und einer abhängigen Variablen f(x), dem Funktionswert.
Diese Zuordnung ist eindeutig: es kann verschiedenen Argumenten x der gleiche Funktionswert
f(x) zugeordnet werden, aber es darf keinem Argument x mehr als ein Funktionswert
zugeordnet werden. Oder anschaulich: die Funktion darf (lokal) waagerecht verlaufen, z.B.
f(x) = 1, nicht aber (lokal) senkrecht, da dann f(x) alle Werte aus R annehmen würde für
z.B. x = 1.
§ 325 Diese Forderung hat Konsequenzen für die Umkehrbarkeit einer Funktion. Die Funktion
f(x) = 2x nimmt für jedes x ∈ R einen anderen Wert an, d.h. für alle x 1 , x 2 ∈ R mit
x 1 ≠ x 2 gilt auch f(x 1 ) ≠ f(x 2 ). Da jeder Funktionswert nur einmal angenommen wird,
ist jeder abhängigen Variablen eindeutig eine unabhängige Variable zugeordnet. Auf Grund
dieser Eindeutigkeit existiert eine Umkehrfunktion: f(x) = 2x → f U (x) = 1 2 x.2 Anders die
Funktion f(x) = x 2 . Hier werden Funktionswerte doppelt angenommen: sowohl für x 1 = −2
als auch für x 2 = +2 ergibt sich der Funktionswert f(x 1 ) = f(x 2 ) = 4. Daher lässt sich aus
dem Funktionswert nicht eindeutig eine zugehörige unabhängige Variable rekonstruieren, die
Funktion ist also nicht umkehrbar. Daher gilt für Umkehrbarkeit der folgende Satz
Satz 9 Eine Funktion f(x) heißt umkehrbar, wenn ∀ x 1 ≠ x 2 gilt f(x 1 ) ≠ f(x 2 ).
2 Die Umkehrfunktion bestimmt sich aus f(x) = y durch Auflösen der Gleichung nach x und anschließendes
Vertauschen von x und y. In diesem Beispiel also f(x) = y = 2x wird aufgelöst zu x = y/2 und damit nach
Vertauschen von x und y zu f U (x) = y(x) = x/2.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode