Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

10.1. MOTIVATION 371
Abbildung 10.2: Egal wie stark
strukturiert die Strömung am Anfang
des Flusses ist (links), für den
Turbinenbetreiber oder Wasserregulierer
am Wehr interessiert nur
der Fluss durch letzteres (rechts)
nur noch über eine skalare Größe, so dass das Integral mit den in Kap. 5 bereit gestellten
mathematischen Werkzeugen zu lösen ist.
§ 1386 Zwei Wege in einem Kraftfeld mit Hilfe des Linienintegrals zu vergleichen ist sicherlich
möglich. Aber die Aussage, die wir daraus über das Kraftfeld machen können, ist nur
begrenzt nützlich: sind die beiden Linienintegrale verschieden, so wissen wir, dass das Kraftfeld
nicht konservativ ist. Aber was lernen wir, wenn die beiden Linienintegrale gleich sind?
Wir können dann nicht ausschließen, dass das Kraftfeld konservativ ist. Aber wir können es
auch nicht beweisen, da wir dazu entlang aller möglichen Wege das Linienintegral bestimmen
müssten. Oder wir bestimmen einfach die Rotation des Feldes: verschwindet diese, so lässt
sich das Kraftfeld als der Gradient eines skalaren Potentials darstellen und ist konservativ.
§ 1387 Das Linienintegral wird uns ferner helfen, die anschauliche Interpretation der Rotation
als Wirbelstärke etwas formaler zu begründen. Mit Hilfe des Stokes’schen Integralsatzes
werden wir einen Zusammenhang zwischen der lokalen Größe Rotation und der globaleren
Größe eines Linienintegrals kennen lernen. Dieser Integralsatz ermöglicht es auch, Faraday’s
und Ampere’s Gesetze von der aus der Schule bekannten Integralform in eine differentielle
Form unter Verwendung der Rotation zu überführen.
§ 1388 Mit (10.1) haben wir das Integral entlang eines Weges in einem Feld eingeführt. Neben
diesem Linienintegral gibt es ein weiteres Integral über ein Feld, das (Ober-)Flächenintegral.
Auch dieses können wir uns aus einer physikalischen Situation heraus veranschaulichen. Betrachten
wir dazu das Geschwindigkeitsfeld einer Strömung, z.B. eines eher wild dahin strudelnden
Gebirgsbaches (Abb. 10.2). Auch wenn Sie vielleicht versucht sind, die vielen Wirbel
mit Hilfe der Rotation formal zu beschreiben, den Besitzer des Kleinkraftwerks oder den
Wasserregulierer an einem Wehr etwas weiter stromabwärts interessieren diese Wirbel nicht.
Er möchte vielmehr wissen, wie viel Wasser durch seine Turbine/Wehr strömt und wie viel
elektrische Energie sich mit diesem Wasser erzeugen lässt.
§ 1389 Hier ist die relevante Größe der Fluss
∫
Φ = ⃗v · dS
⃗
des Vektorfeldes ⃗v durch die von den Flächenelementen d ⃗ S gebildete Fläche der Turbine. Auch
in diesem Fall ist nicht nur der Integrand sondern auch das Differential eine vektorielle Größe.
Ähnlich wie beim Linienintegral müssen wir auch bei hier das d ⃗ S geeignet parametrisieren,
um das Flächenintegral in ein gewöhnliches Integral zu überführen. Der so definierte Fluss und
das Flächenintegral werden uns bei der formalen Interpretation der Divergenz als Quellstärke
hilfreich sein. Auch hier gibt es einen Integralsatz, mit dessen Hilfe wir z.B. das Gauß’sche
Gesetz des elektrischen Feldes von der aus der Schule bekannten integralen Form in die in
§ 1382 gegebene differentielle Form überführen können.
§ 1390 Diese Besessenheit mit der Umformung von integralen zu differentiellen Formulierungen
der Maxwell’schen Gleichungen hat verschiedenen Gründe. Wir werden nur einen
betrachten: während die integralen Formen der Gleichungen anschaulich leicht verständlich
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007