Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

11.3. WELLENGLEICHUNG 417
Diese Separationskonstante nennen wir wieder −β 2 und erhalten damit aus (11.15) zwei neue
Gleichungen:
0 = d2 T (t)
dt 2 + c 2 β 2 T (t) und 0 = ∂2 R(x, y)
∂x 2 + ∂2 R(x, y)
∂y 2 + β 2 R(x, y) . (11.16)
§ 1546 Die erste Gleichung ist eine gewöhnliche DGL vom Typ der Schwingungsgleichung.
Die zweite DGL ist eine partielle DGL. Für diese machen wir nochmals einen Separationsansatz:
R(x, y) = X(x) Y (y) .
Einsetzen in die zweite Gleichung von (11.16) liefert
Y (y) X ′′ (x) + X Y ′′ (y) + β 2 X(x) Y (y) = 0
oder nach Umformen
X ′′ (x)
X(x) + Y ′′ (y)
Y (y) + β2 = 0 .
Da der erste Term nur von x, der zweite dagegen nur von y abhängt, kann auch diese Gleichung
nur erfüllt sein, wenn beide Terme konstant sind – allerdings sind die Terme in diesem
Fall nicht gleich, da die Gleichung ja noch das β 2 enthält. Daher wählen wir zwei Separationskonstanten
−p 2 und −q 2 und erhalten zwei gewöhnliche Differentialgleichungen
X ′′ (x) + p 2 X(x) = 0 und Y ′′ (y) + q 2 Y (y) = 0 .
Für die Separationskonstanten gilt
p 2 + q 2 = β 2 . (11.17)
Damit haben wir die partielle Differentialgleichung (11.14) auf drei gewöhnliche Differentialgleichungen
reduziert, deren Separationskonstanten durch (11.17) verknüpft sind:
T ′′ (t) + c 2 β 2 T (t) = 0 ,
X ′′ (x) + p 2 X(x) = 0 ,
Y ′′ (y) + q 2 Y (y) = 0 .
§ 1547 Alle drei Gleichungen entsprechen formal dem Typ der Schwingungsgleichung, d.h.
wir erhalten als allgemeine Lösungen
X(x) = γ 1 cos(qx) + γ 2 sin(qx) ,
Y (y) = γ 3 cos(py) + γ 4 sin(py) ,
T (t) = γ 5 cos(βct) + γ 6 sin(βct) .
Die Randbedingungen Y (0) = Y (b) = X(0) = X(a) = 0 reduzieren diese Lösungen auf
X(x) = γ 2 sin(qx) ,
Y (y) = γ 4 sin(py) ,
T (t) = γ 5 cos(βct) + γ 6 sin(βct) .
Die Separationskonstanten p und q werden ebenfalls durch die Randbedingungen bestimmt.
Auf der Membran können sich nur Schwingungen ausbilden, deren Wellenlänge ein ganzzahliger
Teiler der doppelten Seitenlänge ist, d.h. es muss gelten
p n = nπ a
und
q n = mπ
b
mit m, n = 1, 2, 3 . . . .
Wie bei der schwingenden Saite erhalten wir eine unendliche Zahl von Lösungen. Für n = 1
und m = 1 ergibt sich die Grundschwingung der Membran, für größere Werte ergeben sich
Oberschwingungen.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007