Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

3.2. GRUNDLAGEN 87
Abbildung 3.4: Die Funktion hat an der
Stelle x = 2 zwar einen Grenzwert, ist dort
aber nicht definiert. Annäherung an x = 2
von links und rechts führt zu unterschiedlichen
Grenzwerten, dem linksseitigen und
dem rechtsseitigen
im Funktionsplot nicht einmal als Lücke wahrnehmbare Stelle wie in Abb. 3.5. In letzterem
Fall hat die Funktion an ihrer Definitionslücke einen Grenzwert: es ist egal, ob wir uns von
links oder rechts an die Stelle x = 0 annähern, die Funktion strebt immer gegen den Wert 1.
In diesem Fall sind rechts- und linksseitiger Grenzwert identisch.
§ 346 Bei der Funktion in Abb. 3.4 dagegen ergeben sich bei Annäherung an die Definitionslücke
von rechts und links unterschiedliche Grenzwerte, d.h. rechts- und linksseitiger
Grenzwert sind nicht identisch.
§ 347 Eine alternative Definition des Grenzwerts bietet einen Hinweis auf eine mögliche
Rechentechnische Behandlung von Grenzwerten und basiert auf dem ε, δ-Kriterium:
Definition 30 Die Funktion y = f(x) besitzt an der Stelle x = a den Grenzwert g, wenn es
für alle ε > 0 ein δ > 0 gibt derart, dass |f(x) − g| < ε für alle x ∈ R mit |x − a| < δ.
Diese Definition wird häufig so gelesen, dass es zu jedem noch so kleinen ε einen Wert δ gibt,
so dass in einer ε-Umgebung um g alle Funktionswerte aus der δ-Umgebung von a liegen.
Polstelle
§ 348 Bevor wir uns der Funktion in Abb. 3.5 zuwenden, betrachten wir noch ein Zahlenbeispiel
für den Grenzwert. Die Funktion
f(x) = 4 + x
x + 1
ist an der Stelle x = −1 nicht definiert. Bilden wir den linksseitigen Grenzwert, so erhalten
wir (unter Verwendung des ε, δ-Kriteriums in vereinfachter Schreibweise)
x + 4
lim
x→−1 − x + 1 = lim −1 − ε + 4
ε→0 −1 − ε + 1 = lim 3 − ε
ε→0 −ε = −∞ .
Für den rechtsseitigen Grenzwert dagegen ergibt sich
x + 4
lim
x→−1 + x + 1 = lim −1 + ε + 4
ε→0 −1 + ε + 1 = lim 3 + ε
= +∞ .
ε→0 ε
§ 349 Die beiden unterschiedlichen Grenzwerte der Funktion in Bsp. 348 haben eine weitere
Besonderheit. Sie sind nicht einfach nur unterschiedlich wie in Abb. 3.4 sondern die Funktion
strebt hier gegen Unendlich. Eine derartige ausgezeichnete Stelle wird als Pol bezeichnet:
Definition 31 Stellen, in deren unmittelbarer Umgebung die Funktionswerte über alle Grenzen
hinaus fallen oder wachsen, heißen Pole oder Unendlichkeitsstellen der Funktion.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007