Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.9. NUMERISCHE VERFAHREN 279
§ 1048 Eine besondere numerische Behandlung von Differentialgleichungen höherer Ordnung
ist nicht erforderlich, da jede gewöhnliche DGL der Ordnung p > 1 in ein System von p DGLs
1. Ordnung zerlegt werden kann. Diese p DGLs müssen dann abwechselnd numerisch iteriert
werden. Diese Ideen finden auch in der numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen
Anwendung, da eine partielle DGL auf mehrere gewöhnliche DGLs zurückgeführt werden
kann, vgl. Kap. 11. Allerdings lassen sich auch Ableitungen höherer Ordnung diskretisieren
(vgl. § 1072), so dass der Rückzug auf DGLs erster Ordnung nicht zwingend erforderlich ist.
7.9.3 Euler Verfahren
§ 1049 Das Euler Verfahren zur numerischen Lösung einer DGL ist eine formale Version des
in Abschn. 7.9.1 anschaulich dargestellten Verfahrens. Das Ziel ist die numerische Lösung
des Anfangswertproblem ẋ = f(x, t) mit dem Anfangswert x(0) = x 0 in einem Intervall
a ≤ t ≤ b.
§ 1050 Der erste Schritt ist die Diskretisierung, d.h. der Übergang von infinitesimal kleinen
Schritten auf diskrete Intervalle und damit von einer Differentialgleichung auf eine Differenzengleichung
∆x
∆t = x n − x n−1
= f(x, t) .
∆t
Das zu betrachtende Intervall [a, b] wird wie aus der numerischen Integration bekannt in M
gleich große Teile der Länge
h = ∆x = b − a
M
zerlegt; h = ∆x ist die Schrittweite des numerischen Schemas. Die Lösungsfunktion wird
punktweise an den durch die Diskretisierung ausgewählten Gitterpunkten (Stützstellen) t n =
t 0 + n ∆t, n = 0, 1, 2, 3, . . . bestimmt.
Euler Vorwärts
§ 1051 Beim Euler Vorwärts Verfahren gehen wir von einem vorgegebenen Anfangspunkt,
dem Anfangswert (t 0 , x 0 ), aus. Dieser liegt auf der exakten Lösungskurve x = x(t). Die
Lösungskurve im anschließenden Intervall wird in diesem Punkt näherungsweise durch die
Tangente ersetzt, deren Steigung durch die Differentialgleichung als f(x 0 , t 0 ) gegeben ist:
x(t 1 ) = x 0 + ∆t f(x 0 , t 0 ) .
Das Verfahren wird an diesem Punkt fortgesetzt, wobei jetzt die Tangentensteigung f(x(t 1 ), t 1 )
ist usw. für den so bestimmten Wert x(t 2 ):
x(t 2 ) = x(t 1 ) + ∆t f(t 1 , x 1 )
oder verallgemeinert
x(t n+1 ) = x(t i ) + ∆t f(t i , x i ) .
Die Lösungskurve wird also aus gradlinigen Stücken zusammengesetzt, d.h. die Näherungslösung
ist ein Streckenzug oder Polygon. Das Verfahren wird daher auch als Euler’sches Streckenzugverfahren
bezeichnet.
§ 1052 Während der Anfangswert noch exakt auf der Lösungskurve liegt, weicht bereits der
erste Punkt x(t 1 ) etwas von der Lösungskurve ab. Mit zunehmender Zahl der Schritte wird
diese Abweichung immer größer. Da ein numerisches Verfahren mit abnehmender Schrittweite
genauer wird, lässt sich der Fehler des numerischen Verfahrens abschätzen auf einfache Weise
abschätzen durch einen Vergleich der Lösung bei unterschiedlichen Schrittweiten:
∆x i = x(t i ) − x i ≈ x i − ˜x i
mit ˜x i als der Näherungslösung an der Stelle t i bei doppelter Schrittweite ∆t des numerischen
Schemas. Eine formalere Annäherung an den Verfahrensfehler werden wir in Abschn. 7.9.7.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007