Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

138 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG
Abbildung 4.8: Funktionen von zwei Variablen
mit verschiedenen Typen stationärer Punkte:
Sattel (links), Minimum (Mitte) und Maximum
(rechts)
Für eine Funktion von n Variablen ergeben sich entsprechend n 2 Ableitungen zweiter Ordnung,
da jeder der n Ableitungen erster Ordnung nach einer der n Variablen abgeleitet werden
kann.
§ 540 Allerdings sind nicht alle Ableitungen verschieden, da für die Reihenfolge der Differentiation
der Satz von Schwarz gilt:
Satz 14 Bei einer gemischten partiellen Ableitung k ter Ordnung darf die Reihenfolge der
einzelnen Differentiationsschritte vertauscht werden, wenn die partiellen Ableitungen k ter
Ordnung stetige Funktionen sind.
§ 541 Da die meisten in der Physik verwendeten Funktionen diese Voraussetzungen erfüllen,
werden wir häufig den daraus folgenden Zusammenhang verwenden:
f xl x k
= f xk x l
oder
4.4.2 Stationäre Punkte
∂
∂x l
∂f
∂x k
=
∂
∂x k
∂f
∂x l
.
§ 542 Die Extremwerte einer Funktion einer Variablen lassen sich aus den Nullstellen der
ersten Ableitung bestimmen, da in diesen Punkten die Tangente waagerecht ist. Die zweite
Ableitung wird benötigt, um zwischen Minimum (f ′′ > 0), Maximum (f ′′ < 0) und Sattelpunkt
(f ′ = 0) zu unterscheiden.
§ 543 Bei Funktionen mehrerer Variablen werden die Punkte mit waagerechter Tangentialebene,
d.h. mit ∂f/∂x=∂f/∂y =0, als stationäre Punkte bezeichnet. Auch ihre Klassifikation
erfordert die Untersuchung der zweiten Ableitungen. Eine einfache Übertragung der Regeln
von Funktionen einer Variablen ist nicht sinnvoll, da in einem Punkt die Tangenten sowohl
in x als auch in y-Richtung waagerecht sein können, die zweiten Ableitungen jedoch unterschiedliches
Vorzeichen haben: in x-Richtung ist der Punkt ein Maximum, in y-Richtung ein
Minimum. Dies ist bei einem Sattelpunkt der Fall, vgl. linkes Teilbild in Abb. 4.8.
§ 544 Für die Detailklassifikation der stationären Punkte wird der Ausdruck
D = ∂2 f
∂x 2 ∂ 2 f
∂y 2 − ( ∂ 2 f
∂x ∂y
) 2
im stationären Punkt bezüglich seines Vorzeichens ausgewertet. Für einen Sattelpunkt gilt
D < 0: ein Sattel ist ein Minimum in der einen Koordinatenrichtung und ein Maximum
in der anderen, d.h. die beiden Faktoren ∂ 2 f/∂x 2 und ∂ 2 f/∂y 2 haben unterschiedliches
Vorzeichen, ihr Produkt ist also negativ. Der zweite Summand ist ohnehin negativ, so dass
diese Bedingung für den Sattelpunkt leicht einzusehen ist.
§ 545 Für ein Extremum muss gelten D > 0. Zuätzlich gilt für ein Maximum in diesem
Punkt
∂ 2 f
∂x 2 < 0 oder ∂ 2 f
∂y 2 < 0
und für ein Minimum
∂ 2 f
∂x 2 > 0 oder ∂ 2 f
∂y 2 > 0 .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode