Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

11.1. MOTIVATION 409
Die rechte Seite enthält im Grenzübergang die partielle Ableitung der partiellen Ableitung,
∂ 2 A/∂t 2 . Auf der linken Seite dagegen steht die Beschleunigung, d.h. die zweite partielle
Ableitung von A nach t. Die schwingende Saite wird also durch die PDGL
∂ 2 A
∂t 2
beschrieben.
= c2 ∂2 A
∂x 2 mit c 2 = T ϱ
(11.1)
§ 1514 Diese Gleichung hat eine ähnlich einfache Struktur wie die die harmonische Schwingung
beschreibende Gleichung (7.16). Können wir hier ebenfalls durch Raten eine Lösung finden?
Sicherlich nicht dadurch, dass wir aus der PDGL die Eigenschaften der gesuchten Funktion
sofort erahnen können. Allerdings haben wir Vorwissen aus dem Umgang mit gewöhnlichen
Differentialgleichungen, insbesondere ist uns das Superpositionsprinzip bekannt. Ein Blick auf
(11.1) zeigt, dass die Gleichung in beiden Variablen x und ct symmetrisch ist. Eine derartige
Symmetrie ließe sich erreichen, wenn die Lösung als Funktion von (x ± ct) geschrieben wird:
A(x, t) = f(x − ct) + g(x + ct) .
Zweimaliges Ableiten nach t und x zeigt, dass dieser Ausdruck die PDGL (11.1) löst und
zwar für jede beliebige Wahl der Funktionen f und g. Dabei beschreibt die Funktion f eine
sich in positiver x-Richtung ausbreitende Störung, die Funktion g eine sich in negater x-
Richtung ausbreitende. Wir werden diese Herleitung und die Interpretation der Lösungen in
Abschn. 11.3.2 noch einmal genauer betrachten.
11.1.2 Elektromagnetische Welle
§ 1515 Die obige Herleitung einer Wellengleichung hat sich auf eine mechanische Welle bezogen
und ist vom zweiten Newton’schen Axiom ausgegangen. Daher ist die Herleitung anschaulich
und die Gleichung einfach, da sie nur eine eindimensionale Welle betrachtet. Eine
elektromagnetische Welle dagegen ist dreidimensional. Lässt sie sich als einfache Erweiterung
von (11.1) betrachten und schreiben als
∂ 2 A
∂t 2 = c2 ∆A ?
§ 1516 Aus den Maxwell’schen Gleichungen lässt sich eine PDGL für die elektromagnetische
Welle herleiten. Vom Faraday’schen Gesetz (10.29) in differentieller Form ∇ × ⃗ E = −∂ ⃗ B/∂t
nehmen wir auf beiden Seiten die Rotation:
∇ × (∇ × ⃗ E) = −∇ × ∂ ⃗ B
∂t .
Die linke Seite können wir mit (??) vereinfachen:
∇(∇ · ⃗E) − ∇ 2 ⃗ E = −
∂(∇ × ⃗ B)
∂t
.
Einsetzen des Gauß’schen Gesetzes für das elektrische Feld (10.24) auf der linken und des
Ampere’schen Durchflutungsgesetzes (10.28) auf der rechten Seite liefert die Differentialgleichung
für die elektromagnetische Welle
1
∇ ·
ε ⃗E − ∇ 2 ⃗
∂ E = −
0 ∂t
(
µ 0
⃗j + µ 0 ε 0
∂ ⃗ E
∂t
§ 1517 Im Vakuum verschwinden die Ladungsdichte ϱ und die Stromdichte ⃗j; die DGL für
die elektromagnetische Welle im Vakuum ist daher
)
∇ 2 ⃗ E = ∆ ⃗ E = µ0 ε 0
∂ 2 ⃗ E
∂t 2 . (11.2)
.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007