Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

424 KAPITEL 11. PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
§ 1573 Die Form der Poisson Gleichung lässt sich am Beispiel des elektrostatischen Feldes
veranschaulichen. Ein elektrostatisches Feld ist rotationsfrei. Dann lässt es sich als Gradient
eines skalaren Potentials A darstellen ⃗ E(⃗r) = −∇U. Von diesem Ausdruck können wir die
Divergenz bilden und erhalten unter Brücksichtigung des Gauß’schen Gesetz für das elektrische
Feld (10.24) ∆U = −ϱ/ε 0 . Dies ist die Poisson Gleichung. Bei der Laplace Gleichung ist
die Inhomogenität Null: ∆U = 0.
§ 1574 Eine wichtige Anwendung der Poisson-Gleichung ist die Bestimmung des elektrischen
Potentials für eine beliebige Ladungsverteilung. Das elektrische Potential ist linear: das Potential
einer Punktladung am Ort ⃗r 1 kann als U 1 bestimmt werden; das Potential einer zweiten
Punktladung am Ort ⃗r 2 als U 2 . Das Potential der beiden Punktladungen ist dann U 1 + U 2 .
Zumindest in analytischen Verfahren zur Lösung der Poisson Gleichung eröffnet diese Linearität
eine einfache Möglichkeit: die Gleichung wird einmal für eine Punktladung gelöst. Das
sich ergebende Potential ist die Systemantwort der Poisson Gleichung auf eine Punktladung
und damit eine Green’sche Funktion. Für beliebige Ladungsverteilungen müssen dann nur
die entsprechenden Green’schen Funktionen addiert werden. Dieser Vorgang führt auf das
Poisson Integral.
11.5.1 Elektrostatisches Potential einer Punktladung.
§ 1575 Betrachten wir eine Punktladung q im Ursprung des Koordinatensystems. Das elektrostatische
Potential dieser Punktladung ist
U(⃗r) =
q
4πε 0 r ,
das daraus bestimmte elektrische Feld ist
⃗E(⃗r) = −∇U =
q ⃗r
4πε 0 r 3 .
Beide Gleichungen sind aus der Experimentalphysik bekannt. Für unsere Zwecke sind sie
jedoch nicht ausreichend, da wir das Potential von Punktladungen an beliebigen Punkten
bestimmen müssen – sonst funktioniert das Verfahren der Summation im Poisson Integral
nicht.
§ 1576 Zur Lösung der Poisson Gleichung gehen wir von einer Ladungsdichte ϱ aus:
ϱ(⃗r, t)
∆U = − .
ε 0
Ob wir das Potential einer Punktladung oder das Potential im Außenraum einer ausgedehnten
sphärisch symmetrischen Ladungsverteilung bestimmen wollen, ist für die weitere Herleitung
unerheblich. Als erstes integrieren wir über eine Kugel mit Radius R, die die Ladung enthält.
Auf der rechten Seite ergibt das Integral die Gesamtladung Q:
∫
∆U dV = − Q ε 0
.
Auf der linken Seite schreiben wir den Laplace Operator als die Divergenz eines Gradienten:
∫
∇ · ∇U dV = − Q ε 0
Mit dem Gauß’schen Satz (10.19) lässt sich das Volumenintegral in ein Oberflächenintegral
umwandeln
∮
∇U d ⃗ A = − Q ε 0
.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode