Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

150 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG
§ 597 Betrachten wir zwei Koordinatensysteme (x 1 , x 2 , x 3 ) und (u 1 , u 2 , u 3 ). Dabei sollen
diese u i allgemeine neue Koordinaten sein, ein Bezug zu einem der krummlinigen Koordinatensysteme
wird erst später hergestellt werden. Drücken wir den Vektor ⃗r = (x 1 , x 2 , x 3 ) in
den neuen Variablen aus, so erhalten wir: ⃗r = (x 1 (u 1 , u 2 , u 3 ), x 2 (u 1 , u 2 , u 3 ), x 3 (u 1 , u 2 , u 3 )).
Für eine Änderung dx i in einer der Koordinaten x i gilt gemäß (4.10)
dx i = ∂x i
∂u 1
du 1 + ∂x i
∂u 2
du 2 + ∂x i
∂u 3
du 3 .
Die Änderung d⃗r des Ortsvektors ⃗r, das Linienelement, ist damit
mit
d⃗r = ((dx 1 , dx 2 , dx 3 ) = dx 1 ⃗e x1 + dx 2 ⃗e x2 + dx 3 ⃗e x3
∂x1
= du 1 + ∂x 1
du 2 + ∂x ) (
1
∂x2
du 3 ⃗e x1 + du 1 + ∂x 2
du 2 + ∂x )
2
du 3 ⃗e x2
∂u
( 1 ∂u 2 ∂u 3 ∂u 1 ∂u 2 ∂u 3
∂x3
+ du 1 + ∂x 3
du 2 + ∂x )
3
du 3 ⃗e x3
(
∂u 1 ∂u 2 ∂u 3
∂x1
= ⃗e x1 + ∂x 2
⃗e x2 + ∂x ) (
3
∂x1
⃗e x3 du 1 + ⃗e x1 + ∂x 2
⃗e x2 + ∂x )
3
⃗e x3 du 2
∂u
( 1 ∂u 1 ∂u 1 ∂u 2 ∂u 2 ∂u 2
∂x1
+ ⃗e x1 + ∂x 2
⃗e x2 + ∂x )
3
⃗e x3 du 3
∂u 3 ∂u 3 ∂u 3
= ∂⃗r
∂u 1
du 1 + ∂⃗r
∂u 2
du 2 + ∂⃗r
∂u 3
du 3 (4.14)
(
∂⃗r ∂x1
= , ∂x 2
, ∂x )
3
.
∂u i ∂u i ∂u i ∂u i
§ 598 Bei der Transformation von einem Koordinatensystem in ein anderes erhält man einen
Vektor in Richtung der neuen Koordinaten u i als ∂⃗r/∂u i . Um einen Einheitsvektor in dieser
Richtung zu erhalten, müssen wir durch den Betrag des Vektors dividieren, d.h. der Einheitsvektor
in u i -Richtung ist
⃗e ui =
1
|∂⃗r/∂u i |
∂⃗r
∂u i
. (4.15)
§ 599 Gleichung (4.14) gibt die Änderung des Vektors ⃗r bei Änderung der Koordinaten u i
um jeweils ein Stückchen du i . Diesen Zusammenhang benötigen wir bei der Betrachtung
krummliniger Koordinatensysteme wie in Abschn. 1.3 eingeführt. Dort hatten wir die Einheitsvektoren
bereits angegeben. Mit Hilfe von (4.14) können wir sowohl eine allgemeine
Gleichung für die Bestimmung der Einheitsvektoren angeben als auch die in Abschn. 1.3
gegebenen Einheitsvektoren verifizieren.
Polarkoordinaten
§ 600 Betrachten wir als einfachstes Beispiel die Basisvektoren in Polarkoordinaten. Der
Ortsvektor ist ⃗r = (x, y) = r (cos ϕ, sin ϕ). Ableiten nach r und ϕ liefert für die Richtung
und den Betrag des Vektors in Richtung der neuen Koordinate r
(
∂⃗r cos ϕ
∂r = sin ϕ
)
und
∂⃗r
∣∂r
∣
√cos = 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1
sowie für Richtung und Betrag des Vektors in Richtung der zweiten Koordinate ϕ
( )
∂⃗r − sin ϕ
∂ϕ = r und
∂⃗r
cos ϕ
∣∂ϕ∣ √sin = r 2 ϕ + cos 2 ϕ = r .
Damit haben wir die Einheitsvektoren in Polarkoordinaten nicht nur anschaulich wie in (1.1)
sondern auch formal hergeleitet:
⃗e r = ∂⃗r/∂r ( )
cos ϕ
|∂⃗r/∂r| = und ⃗e
sin ϕ
ϕ = ∂⃗r/∂ϕ ( )
− sin ϕ
|∂⃗r/∂ϕ| = . (4.16)
cos ϕ
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode