Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

432 KAPITEL 11. PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Abbildung 11.12: Konzentrationsprofile
zu verschiedenen Zeiten in
einem langen dünnen Rohr, vgl.
§ 1610
11.6.4 Allgemeine Lösung der 1D Diffusionsgleichung
§ 1608 Gleichung (11.40) beschreibt die Lösung der Diffusionsgleichung für eine δ Injektion
am Ort x 0 ; sie gibt damit auch die Green’sche Funktion für das Diffusionsproblem. Lösungen
der Diffusionsgleichung für eine räumlich oder zeitlich ausgedehnte Injektion erhalten wir
durch Überlagerung der Lösungen der einzelnen δ Injektionen.
§ 1609 Diese Faltung der Green’schen Funktion mit den Eigenschaften der Injektion liefert
für eine räumlich ausgedehnte Injektion N 0 ϱ(x ′ ) zur Zeit t = 0
∫
∫
n(x, t) = ϱ(x ′ )n δ (x, t)dx ′ = ϱ(x ′ N 0
) √ exp
(− (x − x′ ) 2 )
dx . (11.41)
4πDt 4Dt
§ 1610 Als Beispiel für eindimensionale Diffusion können wir die Ausbreitung einer Substanz
in einem langen dünnen Rohr betrachten (−∞ < x < ∞). Das Wasser in diesem Rohr ist
mit Tinte versetzt, deren Konzentration anfänglich durch ein Profil
c(x, 0) =
{
0 für x < 0
c 0 für x > 0
(11.42)
beschrieben wird, d.h. durch eine Heavyside Funktion H(x) (9.9). Einsetzen dieser Konzentration
in (11.41) ergibt
c(x, t) =
∫ ∞
0
c
√ 0
exp
(− (x − x′ ) 2 )
dx ′ .
4πDt 4Dt
Dies ist ein Integral der Form ∫ e −u2 du. In (9.15) haben wir bereits gesehen, dass dieses
Integral die Error Funktion definiert:
erf(x) = 2 √ π
∫x
0
e −u2 du .
§ 1611 Als Lösung erhalten wir damit
c(x, t) = c 0
2
[ ( )] x
1 + erf
2D √ .
t
Zum Zeitpunkt t = 0 ergibt sich für x < 0 erf(−∞) = −1 und für x > 0 erf(+∞) = +1,
so dass sich die Anfangsbedingungen wie in (11.42). Für große Zeiten (t → ∞) erhalten wir
erf(0) = 0, d.h. es ergibt sich eine gleichförmige Konzentration von c 0 /2, vgl. Abb. 11.12.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode