Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

508 ANHANG B. MATLAB: THE BASICS
fh = @(t,x) (t.^2+4+x)/t; % Definition der Funktion über ein Handle
% Erzeugen der analytischen Lösung im Integrationsintervall an den
% Stützstellen, die auch von der numerischen Lösung benutzt werden
t=[tl:dt:tr];
xanalytisch=t.^2-4+5.*t;
%%%%%%%%%%%%%%Numerische Lösung%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x(1)=2; % Randbedingung vorgeben
t2=t-dt/2; % Erstellen des Zwischengitters
x2(1)=x(1)-dt/2*(t(1)^2+4+x(1))/t(1); % Anfangswert des Zwischengitters
for i=2:length(t);
x2(i)=x2(i-1) + dt*feval(fh,t(i-1),x(i-1));
x(i)=x(i-1) + dt*feval(fh,t2(i),x2(i));
end
%%%%%%%%%%%%%%%Ende numerische Lösung%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Darstellung von numerischer und analytischer Lösung
subplot(2,1,1), plot(t,x,’:ob’);
hold on
plot(t,xanalytisch,’-r’); % analytische Lösung in rot
xlabel(’x-Achse’,’Fontsize’,14);
ylabel(’y-Achse’,’Fontsize’,14);
title(’Leapfrog-Verfahren’,’Fontsize’,18);
text(1.1,55.,’rot: analytisch’);
text(1.1,50.,’blau: numerisch’);
subplot(2,1,2),plot(t,(x-xanalytisch)./xanalytisch);
xlabel(’x-Achse’,’Fontsize’,14);
ylabel(’relative Abweichung’,’Fontsize’,14);
hold off
Func: leapfrog
function [t,x] = leapfrog(f,a,b,dt,x0)
% Funktion zur Lösung einer DGL der Form dot(x)=f mit Hilfe des
% Leapfrog-Verfahrens.
% Eingabe: Funktion f
% Integrationsintervall a, b
% Schrittweite dx
% Anfangswert x0
% Ausgabe: graphisch
% Vektoren t und x
% Aufruf: [t,x] = eulervorwaerts(f,a,b,dx,x0)
t=[a:dt:b]; x(1)=x0;
t2=t-dt/2; % Erstellen des Zwischengitters
x2(1)=x(1)-dt/2*feval(f,t(1),x(1)); % Anfangswert des Zwischengitters
for i=2:length(t);
x2(i)=x2(i-1) + dt*feval(f,t(i-1),x(i-1));
x(i)=x(i-1) + dt*feval(f,t2(i),x2(i));
end
plot(t,x,’:ob’);
xlabel(’Zeit t’,’Fontsize’,14);
ylabel(’x’,’Fontsize’,14);
title(’Leapfrog Verfahren’,’Fontsize’,18);
Skript: rungekuttaskript
% Beispiel zur numerischen Integration einer gewöhnlichen
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode