Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

10.6. ANWENDUNGSBEISPIELE 401
Frage 112 Was versteht man unter einem konservativen Kraftfeld? Geben Sie verschiedene
Eigenschaften an, nennen Sie Beispiele.
Frage 113 Geben Sie eine anschauliche Interpretation des Flusses einer vektoriellen Größe.
Frage 114 Der Fluss durch eine einen Dipol umschließende Fläche (Bsp. 1474) ist Null.
Welcher Fluss ergibt sich, wenn bei einem elektrischen Dipol die Fläche nur eine der Ladungen
umschließt, die andere aber außerhalb liegt?
Frage 115 Skizzieren Sie das Verfahren zur Bestimmung eines Linienintegrals.
Frage 116 Skizzieren Sie das Verfahren zur Bestimmung eines Oberflächenintegrals.
Frage 117 Erläutern Sie den Gauß’schen Integralsatz. Geben Sie eine formale und eine
anschauliche Erläuterung. Nennen Sie Anwendungsbeispiele.
Frage 118 Erläutern Sie den Stokes’schen Integralsatz. Geben Sie eine formale und eine
anschauliche Erläuterung. Nennen Sie Anwendungsbeispiele.
Aufgaben
Rechentechnik
Aufgabe 185 Wie berechnet man den Normalenvektor zu einer im Raum gegebenen Fläche
ϕ(x, y, z) = const?
Aufgabe 186 In welchem Punkt verschwindet die Divergenz des Vektorfeldes ⃗ A = (xy 2 , x 2 y−
4y)?
Aufgabe 187 Gegeben sind das Skalarfeld A = x 2 e yz und das Vektorfeld ⃗ B = (y, −x, z).
Bestimmen Sie die Divergenz des Vektorfeldes A ⃗ B.
Aufgabe 188 Wie sind die Parameter a und b zu wählen, damit die Rotation des Vektorfeldes
⃗ A = (2xz 2 + y 3 z, axy 2 z, 2x 2 z + bxy 3 ) überall verschwindet.
Aufgabe 189 Gegeben ist das Skalarfeld A = x 2 yz 2 und das Vektorfeld ⃗ B = (xy, y, z 2 ).
Bestimmen Sie die Rotation des Vektorfeldes A ⃗ B.
Aufgabe 190 Bestimmen Sie die Divergenz des Vektorfeldes ⃗ A = (4x 2 + 8xy + z, 4x 2 +
y, xz + yz + z 2 ).
Aufgabe 191 Bestimmen Sie die Rotation des Feldes ⃗ A = (y 2 + z 2 , y 2 + z 2 , xyz).
Aufgabe 192 Bestimmen Sie aus den Feldern A(⃗r) = 2x 2 + y 2 , ⃗ B(⃗r) = z 2 y 2 ⃗e x + x 2 z 2 ⃗e y +
x 2 y 2 ⃗e z und ⃗ C(⃗r) = ⃗r die Größen ∇( ⃗ B · ⃗C), ∇ × ( ⃗ B × ⃗ C) und ∇ · (A · ⃗C).
Aufgabe 193 Gegeben ist ein kugelsymmetrisches Vektorfeld ⃗ A(⃗r) = λ⃗r. Stellen Sie Isoflächen
und Feldlinien dar und bestimmen Sie Divergenz und Rotation. Wie ändern sich die Resultate,
wenn λ negativ ist?
Aufgabe 194 Zeigen Sie, dass das Feld ⃗ A(⃗r) = (yz − 12xy, xz − 8yz 3 + 6x 2 , xy − 12y 2 z 2 )
wirbelfrei ist.
Aufgabe 195 Gegeben sei ein Vektorfeld F ⃗ (⃗r) = 1 r
(⃗ω × ⃗r) mit ⃗ω = const. Wählen Sie die
z-Achse eines kartesischen Koordinatensystems in Richtung ⃗ω und geben Sie das Feld in
kartesischen Koordinaten an. Skizzieren Sie das Feld in der Ebene z = 0. Berechnen Sie die
Divergenz und die Rotation des Feldes.
Aufgabe 196 Bestimmen Sie die Quellen des Feldes gradA × gradB.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007