Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

11.6. DIFFUSION 433
11.6.5 Dreidimensionale Diffusionsgleichung
§ 1612 Die Lösung der dreidimensionalen Diffusionsgleichung in einem homogenen Medium,
d.h. in einem Medium, in dem der Diffusionskoeffizient nicht vom Ort abhängt, ist ähnlich der
Lösung für die eindimensionale Diffusion. Betrachten wir die Ausbreitung von einer Quelle
am Ort r = 0. Bei isotroper Diffusion der Teilchen stellt sich eine Verteilung ein, die zwar vom
Abstand von der Quelle abhängt, nicht jedoch von ϕ oder ϑ. Dann interessiert nur, wie schnell
sich die Teilchen von einer Schale bei r auf eine Schale bei r +∆r ausbreiten. Dies wird durch
einen radialen Diffusionskoeffizienten D r beschrieben. Dieser Diffusionskoeffizient kann als ein
effektiver Diffusionskoeffizient interpretiert werden, er ist kleiner als der Diffusionskoeffizient
D, da in D auch die Bewegung der Teilchen in ϑ- und ϕ-Richtung enthalten ist.
§ 1613 Für diese Situation erhalten wir als Lösung der Diffusionsgleichung für eine δ-Injektion
im Ursprung
( )
N 0
n(r, t) = √ 4πDr t 3 exp − r2
. (11.43)
4D r t
Für eine Injektion an einem beliebigen Ort ⃗r ′ ergibt sich
(
N 0
n(⃗r, t) = √ 4πDr t 3 exp − (⃗r − ⃗r′ ) 2 )
.
4D r t
Auch hier lassen sich ausgedehnte Injektionen durch eine Faltung beschreiben.
Zwischenrechnung 64 Zeigen Sie, dass dieser Ausdruck die dreidimensionale Diffusionsgleichung
löst.
11.6.6 Separationsansatz
§ 1614 Bisher haben wir die Diffusions- bzw. Wärmeleitungsgleichung nur für sehr eingeschränkte
Fälle, insbesondere eine δ-Funktion als Injektion, betrachtet. Daraus lässt sich
durch Faltung analog zum Poisson-Integral auch eine Lösung für ausgedehnte Injektionen
bestimmen. Vor der Wellengleichung kennen wir noch ein anderes Lösungsverfahren, den
Separationsansatz.
§ 1615 Ein derartiger Ansatz wurde von Fourier bei der Untersuchung der Wärmeleitung im
Erdboden aufgestellt, daher werden wir hier die (formal der Diffusionsgleichung identische)
eindimensionale Wärmeleitungsgleichung
∂T
∂t = κ ∂2
∂x 2 mit κ = λ cϱ
betrachten (vgl. § 1597). Mit dem Separationsansatz T (x, t) = X(x)T (t) erhalten wir mit λ
als Separationskonstante
κ ∂2 X
∂x 2 + λX = 0 und ∂T
∂t + λT = 0 .
Die erste Gleichung ist eine gewöhnliche DGL 2 ter Ordnung, die zweite eine DGL erster
Ordnung. Für die Lösung ergibt sich daher eine Mischung aus Exponential- und trigonometrischen
Funktionen. Drücken wir letztere ebenfalls über eine Exponentialfunktion aus, so
erhalten wir für die allgemeine Lösung der Wärmeleitungsgleichung
T (x, t) = ∑ λ
[
A λ exp
(
i √ λ/κ x
)
+ B λ exp
(
−i √ λ/κ x
)]
C λ exp(−λt) .
§ 1616 Fouriers Anwendungsbeispiel betraf die Erwärmung des Erdbodens durch die solare
Einstrahlung. Die Temperatur an der Erdoberfläche ist leicht zu beobachten, aber wie sieht
es mit dem Temperaturverlauf in der Tiefe aus? Der Einfachheit halber nehmen wir an,
dass die Temperatur an der Erdoberfläche mit der Jahreszeit variiert gemäß T 0 cos(ωt) mit
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007