Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

3.4. MATHEMATISCHE ERGÄNZUNG 97
Abbildung 3.11: Definition des
Winkels über die Fläche
Differentiation unter Berücksichtigung der Kettenregel liefert
1
exp(x) exp′ (x) = 1 ⇒ exp ′ (x) = exp(x) ,
die Exponentialfunktion ist also ihre eigene Ableitung. Wegen ln(1) = 1 muss ferner gelten
exp(0) = 0. Aus diesen beiden Bedingungen lässt sich die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion
konstruieren als
exp(x) = 1 + x 1 + x2
2! + x3
3! + x4
4! + . . . = ∞ ∑
n=0
x n
n! .
Der Ausdruck ist uns bereits von der MacLaurin Reihe (2.8) bekannt.
§ 390 Eine der Eigenschaften des natürlichen Logarithmus, ln(x p ) = p ln(x), liefert weitere
Informationen. Da der natürliche Logarithmus eine stetige Funktion ist, die zwischen −∞
und +∞ variiert, gibt es gemäß Mittelwertsatz eine Zahl e > 1 mit ln(e) = 1. Ersetzen wir
in obigem Ausdruck x durch e, so ergibt sich ln(e p ) = p ln(e). Da die Umkehrfunktion des
natürlichen Logarithmus eindeutig ist, muss gelten exp(x) = e x mit einer reellen Zahl e, die
als ln(e) = 1 definiert ist.
§ 391 Daraus ergeben sich zwei Möglichkeiten, die Euler Zahl e zu definieren. Zum einen
über die obige Reihenentwicklung der Exponentialfunktion für x = 1 (siehe § 233) als
∞∑ 1
e = exp(1) =
n! ,
n=0
zum anderen über ein Integral derart, dass
∫ e
1
1
u du = 1 .
3.4.2 Trigonometrische Funktionen aus mathematischer Sicht
§ 392 Die Definition der trigonometrischen Funktionen mit Hilfe des Einheitskreises aus
Abb. 3.7 ist anschaulich. Allerdings lässt sich diese Darstellung nicht verwenden, wenn die
trigonometrischen Funktionen z.B. in einem mathematischen Beweis in streng definierter
Form vorliegen müssen. Eine Ausflucht bieten die Reihenentwicklungen (2.9) und (2.10).
Winkel als Fläche unter dem Kreisbogen
§ 393 Obiges Problem ist eng verbunden mit unserer Vorstellung von einem Winkel. In
Abschn. 1.3.2 haben wir den Winkel über die Bogenlänge definiert. Eine alternative Definition
geht von der Fläche aus, die von den beiden radialen Richtungen und dem Bogenstück des
Kreises gebildet wird.
§ 394 Mit elementaren Kenntnissen der Integration und etwas Euklidischer Geometrie lässt
sich aus der in Abb. 3.11 gegebenen Geometrie sowohl eine auf die Fläche bezogene Definition
des Winkels herleiten als auch eine mathematisch saubere Beschreibung der Winkelfunktionen.
Die mit dem Winkel ϕ(m) assoziierte Fläche A(m) wird gebildet von den Geraden y = 0,
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007