Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

126 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG
Abbildung 4.3: Diese Funktion
ist stetig aber nicht
differenzierbar
Die Funktion ist jedoch in diesem Punkt nicht differenzierbar: nähert man sich von links
an, so ist der Differentialquotient überall identisch Null. Bei Annäherung von rechts dagegen
beträgt der Differentialquotient überall eins, d.h. links- und rechtsseitiger Grenzwert des
Differenzenquotienten sind verschieden. Die Ableitung der Funktion lässt sich also nur für
x ≠ 0 bestimmen zu
{
f ′ 1 falls x > 0
(x) =
0 falls x < 0 .
Anschaulich bedeutet die nicht-Differenzierbarkeit der Funktion in x = 0, dass es in diesem
Punkt keine eindeutige Tangente an den Funktionsgraphen gibt. Derartige Knicke werden
uns bei der Koch’schen Schneeflocke in Abschn. 6.5.1 und insbesondere Abb 6.6 nochmals
begegnen.
§ 493 Hieraus können wir zu einer einfachen anschaulichen Definition für Differenzierbarkeit
gelangen: eine Funktion ist differenzierbar, wenn es in jedem Punkt der Funktion eine
eindeutig bestimmte Tangente gibt. Diese anschauliche Erläuterung ist äquivalent zu Def. 42.
§ 494 Differenzierbarkeit ist eine Eigenschaft der Funktion f(x), sagt aber noch nichts über
die Eigenschaften der Ableitung. Die Funktion f(x) = x 2 ist stetig und differenzierbar. Ihre
Ableitung ist f ′ (x) = 2x und damit wieder eine stetige und differenzierbare Funktion. Auch
die Funktion f(x) = e x ist, ebenso wie ihre Ableitung f ′ (x) = e x , stetig und differenzierbar.
Wie sieht es mit der Funktion
f(x) =
{ (sin(x))/x falls x ≠ 0
1 falls x = 0
aus? Diese Funktion haben wir bereits im Zusammenhang mit Abb. 3.5 diskutiert. Da wir
die Definitionslücke bei x = 0 mit dem dort existierenden Grenzwert (siehe § 351) aufgefüllt
haben, ist die Funktion stetig. Sie ist ferner differenzierbar, da in jedem Punkt der Funktion
links- und rechtsseitiger Grenzwert des Differentialquotienten existieren
f ′ (x) =
{
(cos(x))/x + (sin(x))/x
2
falls x ≠ 0
0 falls x = 0
und identisch sind wegen cos(x))/x + (sin(x))/x 2 → 0 wie durch Anwendung der Regel von
l’ Hôpital zu erkennen ist. Differenzierbare Funktionen, deren Ableitung stetig sind, werden
stetig differenzierbar genannt.
Definition 43 Eine Funktion f(x) heißt stetig differenzierbar in [a, b], wenn für jedes x ∈
(a, b) die Ableitung existiert und f ′ (x) stetig ist.
§ 495 Die Funktion
{
f(x) = x 2 cos(1/x) falls x ≠ 0
0 falls x = 0
dagegen ist zwar stetig und auch in jedem Punkt differenzierbar. Für ihre Ableitung
{
f ′ (x) = 2x cos(1/x) + sin(1/x) falls x ≠ 0
0 falls x = 0
gilt dies jedoch nicht, da sie im Punkt x = 0 nicht stetig ist, siehe Abb. 4.4. Diese Funktion
ist daher nicht stetig differenzierbar.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode