Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.10. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN MATLAB 301
Aufgabe 121 Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen 1. Ordnung durch Variation
der Konstanten:
(a) y ′ + xy = 4x , (b) y ′ + y
1+x = e2x ,
(c) xy ′ + y = x sin x , (d) y ′ cos x − y sin x = 1 ,
(e) y ′ − (2 cos x) y = cos x , (f) xy ′ − y = x 2 + 4 ,
(g) xy ′ − y = x 2 cos x , (h) y ′ + (tan x) y = 5 sin(2x) ,
(i) xy ′ + y = ln x , (j) y ′ − 3y = x e x .
Aufgabe 122 Lösen Sie die folgenden inhomogenen linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung
mit konstanten Koeffizienten durch Aufsuchen einer partikulären Lösung:
(a) y ′ = 2x − y , (b) y ′ + 2y = 4 e 5x ,
(c) y ′ + y = e −x , (d) y ′ − 4y = 5 sin x ,
(e) y ′ − 5y = cos x + 4 sin x , (f) y ′ − 6y = 3 e 6x ,
(g) y ′ + 4y = x 3 − x , (h) y ′ − y = e x ,
(i) y ′ + 3y = − cos x .
Aufgabe 123 Welche der folgenden linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung besitzen
konstante Koeffizienten; welche sind homogen, welche inhomogen:
(a) y ′′ + ay ′ + y = e x , (b) xy ′′ − ay ′ = 0 ,
(c) y ′′ + ay ′ + by = 0 , (d) aẍ + x = e −bt ,
(e) y ′′ + y ′ + x 2 y = cos ωt , (f) y ′′ − ay ′ + by = 0 .
Aufgabe 124 Lösen Sie die folgenden homogenen linearen DGLs 2. Ordnung:
(a) y ′′ + 2y ′ − 3y = 0 , (b) 2ẍ + 20ẋ + 50x = 0 ,
(c) ẍ − 2ẋ + 10x = 0 , (d) y ′′ + 4y ′ + 13y = 0 ,
(e) 2¨q + 7 ˙q + 3q = 0 , (f) − ẍ + 6ẋ = 9x ,
(g) y ′′ − 2ay + a 2 y = 0 , (h) ẍ + 4x = 0 ,
(i) ẍ + x = 0 , (j) ẍ + a 2 x = 0 ,
(k) y ′′ + 4y ′ + 5y = 0 , (l) y ′′ + 20y ′ + 64y = 0 ,
(m) 4ẍ − 4ẋ + x = 0 , (n) ẍ + 4ẋ + 29x = 0 ,
(o) ẍ + ẋ + 2x = 0 , (p) ẍ + 2ẋ + 5x = 0 .
Aufgabe 125 Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen der folgenden inhomogenen linearen
DGLs 2. Ordnung:
(a) y ′′ + 2y ′ − 3y = 3x 2 − 4x , (b) y ′′ − y = x 3 − 2x 2 − 4 ,
(c) ẍ − 2ẋ + x = e 2t , (d) y ′′ − 2y ′ − 3y = −2 e 3x ,
(e) ẍ + 10ẋ + 25x = 3 cos(5t) , (f) y ′′ + 10y ′ − 24y = 2x 2 − 6x ,
(g) ẍ − x = t sin t , (h) y ′′ + 12y ′ + 36y = 3 e −6x ,
(k) ẍ + 6ẋ + 10x = cos t , (i) ẍ + 4x = 10 sin(2t) + 2t 2 − t + e −t ,
(l) y ′′ + 2y ′ + 3y = e −2x (j) y ′′ + 2y ′ + y = x 2 e x + x − cos x ,
(m) ẍ + 2ẋ + 17x = 2 sin(5t) .
Aufgabe 126 Gegeben ist die inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung y ′′ +
2y ′ + y = g(x) mit dem Störglied g(x). Ermitteln Sie für die nachfolgenden Störglieder den
jeweiligen Lösungsansatz für eine partikuläre Lösung y p (x) der inhomogenen Gleichung:
(a) g(x) = x 2 − 2x + 1 , (b) g(x) = x 3 − x ,
(c) g(x) = 2 e x + cos x , (d) g(x) = 3 e −x ,
(e) g(x) = 2x e 3x sin(4x) , (f) g(x) = e −x cos x .
Aufgabe 127 Lösen Sie ẍ + 3ẋt + 3x = 0 mit Hilfe einer Potenzreihe.
Aufgabe 128 Lösen Sie die Differentialgleichung aus § ?? numerisch mit Hilfe von: (a)
Euler-Vorwärts, (b) Euler-Rückwärts, (c) Leapfrog, und (d) Runge-Kutta. Verwenden Sie
unterschiedliche Schrittweiten. Vergleichen Sie die Lösungen bei verschiedenen Schrittweiten,
vergleichen Sie auch die Verfahren untereinander.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007