Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

324 KAPITEL 8. MATRIZEN
§ 1214 Eigenvektoren lassen sich direkt aus der Definitionsgleichung bestimmen. Umformung
von (8.8) liefert
(A − λE)⃗x = 0 . (8.9)
Dieses Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn die Determinante |A−λE| nicht verschwindet.
Für ⃗x ≠ 0 erhalten wir zur Bestimmung des Eigenwertes λ und damit des Eigenvektors
⃗x die charakteristische Gleichung
|A − λE| ! = 0 . (8.10)
Für eine (n × n)-Matrix ergibt diese ein charakteristisches Polynom
|A − λE| = a 0 + a 1 λ + a 2 λ 2 + ... + (−1) n λ n = χ n (λ)
mit n möglicherweise komplexen Nullstellen λ k .
§ 1215 Betrachten wir dazu nochmals die Matrix aus § 1210. Ihre Eigenwerte bestimmen
sich gemäß
⎛
⎝ 1/√ 2 − λ 1/ √ ⎞
2 0
−1/ √ 2 1/ √ 2 − λ 0 ⎠ = ! 0 .
0 0 1 − λ
Daraus erhalten wir das charakteristische Polynom
(1/ √ 2 − λ)(−1/ √ 2 − λ)(1 − λ) ! = 0 .
Die Eigenwerte λ sind damit
λ 1 = 1 , λ 2 = 1/ √ 2 und λ 3 = −1/ √ 2 .
Die Summe der Eigenwerte eine Matrix ergibt deren Spur: das ist hier der Fall. Bestimmen
wir nun die Eigenvektoren. Für den Eigenwert λ 1 = 1 erhalten wir als Bestimmungsgleichung
für den Eigenvektor
⎛
⎝ 1/√ 2 − 1 1/ √ 2 0
1/ √ 2 −1/ √ 2 − 1 0
0 0 1 − 1
oder aufgelöst in ein Gleichungssystem
x(1/ √ 2 − 1) + y/ √ 2 = 0
x/ √ 2 − y(1/ √ 2 + 1) = 0
0 = 0
.
⎞ ⎛
⎠
⎝ x y
z
⎞
⎠ ! = 0
Die letzte Gleichung ist erfüllt unabhängig davon, welches z wir wählen, die ersten beiden
Gleichungen lassen sich nur erfüllen mit x = y = 0, d.h. der Eigenvektor zum Eigenwert
λ 1 = 1 weist entlang der z-Achse, also z.B. ⃗e λ1 = (0, 0, 1). Da die z-Komponente eines Vektors
bei der Transformation erhalten bleibt, ist ⃗e λ1 in der Tat ein Vektor, dessen Richtung bei
der Transformation erhalten bleibt. Da der Eigenwert λ 1 = 1 ist, wird der Vektor bei der
Transformation auch weder gestaucht/gestreckt noch umgedreht.
§ 1216 In obigem Beispiel erhalten wir drei verschiedene Eigenwerte für die 3 × 3-Matrix.
Das ist nicht zwingend der Fall: nicht alle Eigenwerte einer Matrix müssen verschieden sein.
In dem Fall wird die Matrix als entartet bezeichnet.
§ 1217 Sind alle Eigenwerte voneinander verschieden, so gehört zu jedem Eigenwert genau
ein linear unabhängiger Eigenvektor, der bis auf den bereits erwähnten konstanten Faktor
eindeutig bestimmt ist. Tritt ein Eigenwert dagegen k-fach auf, d.h. ist die Matrix k-fach entartet,
so gehören hierzu mindestens ein, höchstens aber k linear unabhängige Eigenvektoren.
Die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren sind immer linear unabhängig,
die zu einem mehrfach auftretenden Eigenwert gehörenden können alle linear unabhängig
sein oder auch nicht.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode