Dicionario de filosofia.pdf - Charlezine

AXIOMA 102 AXIOMÂTICA
obra de Peano, Russell, Frege e Hilbert. Segundo
o ponto de vista formalista, que é o mais
difundido atualmente, os A. da matemática não
são nem verdadeiros nem falsos, mas são assumidos
por convenção, com base em motivos
de oportunidade, como fundamentos ou
premissas do discurso matemático (HILBERT,
"Axiomatischen Denken", em Math. Annalen,
1918). Desse modo, os A. não se distinguem
mais dos postulados e as duas palavras são hoje
usadas indiferentemente. A escolha dos A. de
certo modo é livre e, nesse sentido, diz-se que
os A. são "convencionais" ou "assumidos por
convenção". Mas, na realidade, essa escolha é
limitada por exigências ou condições precisas
que podem ser resumidas do seguinte modo:
l s Os A. devem ser coerentes, sob pena de
o sistema que deles depende tornar-se contraditório.
Sistema contraditório é o que permite a
dedução de qualquer coisa e a demonstração
de qualquer proposição, bem como a sua negação.
Como a prova da nâo-contradição não
pode ser obtida dentro de um sistema (v.
AXIOMÁTICA), é costume lançar mão do sistema
da redução a uma teoria anterior, cuja coerência
pareça bem confirmada, como, p. ex., a
aritmética clássica ou a geometria euclidiana.
Esse procedimento sem dúvida não eqüivale a
uma demonstração de não-contradição, mas fornece
um indício importante. Outro procedimento
é a realização, isto é, a referência do sistema a
um modelo real, com base no pressuposto de
que aquilo que é real deve ser possível, portanto
não-contraditório.
2 Q Um sistema de A. deve ser completo no
sentido de que, de duas proposições contraditórias
formuladas corretamente nos termos do
sistema, uma deve poder ser demonstrada. O
que significa que, em presença de uma proposição
qualquer do sistema, pode-se sempre
demonstrá-la ou refutá-la e, portanto, decidir
sobre a sua verdade ou falsidade em relação ao
sistema dos postulados. Nesse caso, o sistema
chama-se decidível.
3 S A terceira característica de um sistema de
A. é a sua independência, isto é, a sua irredutibilidade
recíproca. Tal condição não é tão indispensável
como a da coerência, mas é oportuna
para evitar que as proposições primitivas sejam
excessivamente numerosas.
4 Q Enfim, o menor número possível e a simplicidade
dos A. são condições desejáveis que
conferem elegância lógica a um sistema de
axiomas.
AXIOMAS DA INTUIÇÃO (in. Axioms ofintuition;
fr. Axiomes de Vintuition; ai. Axiomen
der Anschauung; it. Assiomi delVintuizioné).
Kant indicou com essa expressão os princípios
sintéticos do intelecto puro que derivam da
aplicação das categorias à experiência e que
exprimem a possibilidade das proposições da
matemática e da física pura. Todos os princípios
do intelecto puro têm a função de eliminar
o caráter subjetivo da percepção dos fenômenos,
reconduzindo essa percepção à conexão
necessária dos próprios fenômenos, que é própria
da experiência objetivamente válida. Em
particular, os A. da intuição, que correspondem
às categorias da quantidade, porque consistem
na aplicação dessas categorias, transformam o
fato subjetivo de só podermos perceber a quantidade
espacial ou temporal (p. ex., uma linha
ou um lapso de tempo) percebendo, sucessivamente,
as suas partes, no princípio objetivamente
válido de que "toda quantidade é composta
de partes": nas palavras de Kant, de que
"todas as intuições são quantidades extensivas";
e justificam assim a aplicação da matemática ao
mundo da experiência (Crít. R. Pura, Anal. dos
princ, cap. II).
AXIOMÂTICA (in. Axiomatics; fr. Axiomatique,
ai. Axiomatik, it. Assiomaticd). A A.
pode ser considerada resultado da aritmetização
da análise que ocorreu na matemática a partir
da segunda metade do séc. XIX, provocada
sobretudo por Weierstrass. A primeira tentativa
de axiomatização da geometria foi feita por Pasch,
em 1882. Para a axiomatização da matemática
também contribuíram o formalismo de Peano,
Russell, Frege e, especialmente, a obra de Hilbert.
Mas a A. não se limita hoje ao domínio da
matemática: em física, é estudada como objetivo
final ou, pelo menos, como formulação última
e mais satisfatória; qualquer disciplina que
atinja certo grau de rigor tende a assumir a
forma axiomática. O significado da A. pode ser
resumido brevemente nos pontos seguintes:
l e Axiomatizar uma teoria significa, em primeiro
lugar, considerar, em lugar de objetos
ou de classes de objetos providos de caracteres
intuitivos, símbolos oportunos, cujas regras de
uso sejam fixadas pelas relações enumeradas
pelos axiomas. Como tais símbolos são desprovidos
de qualquer referência intuitiva, a teoria
formal assim obtida é passível de múltiplas interpretações,
que se chamam modelos. Mas o
modelo, aqui, não é um arquétipo preexistente
à teoria, e mesmo a teoria concreta original,
que forneceu os dados para o esquema lógico