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GEOMETRIA 483 GEOMETRIA
sob nenhum outro aspecto" (Met., XI, 1061 a
29). Mas foi também graças a Aristóteles que a
G. ganhou organização lógica; de fato, essa
organização, que se realizou plenamente nos
Elementos de Euclides, no séc. III a.C, tem
como modelo a ordem que, no Organon, Aristóteles
considerara própria de toda ciência,
qual seja: o ponto de partida são os primeiros
princípios (definições, axiomas e postulados),
passando-se à dedução rigorosa a partir desses
princípios, sem recorrer à experiência ou a
qualquer intuição. Mas essa mesma formulação
lógica da G. antiga esclarece a natureza de seu
objeto. Como dizia Aristóteles, esse objeto é a
quantidade continua; e como dissera Platão, é
"alguma coisa que é sempre", ou, na terminologia
de Aristóteles, é uma substância ou essência
substancial que, justamente por ser tal,
pode ser definida, e cujas propriedades fundamentais
o intelecto pode intuir, expressando-as
nos axiomas. É preciso lembrar que, segundo
Aristóteles, o procedimento dedutivo ou silogístico
deve partir de premissas evidentes,
intuídas pelo intelecto, e que essa intuição só
pode existir com relação a propriedades ou a
determinações necessárias da substância. O caráter
substancial do objeto da G., no sentido
exato e técnico que a palavra "substancial" tem
em Aristóteles (v. SUBSTÂNCIA), é o pressuposto
fundamental dessa fase conceptual da geometria.
Isto quer dizer que o contínuo espacial,
que é o objeto da G., é pressuposto, em seu
modo de existência específica e em suas determinações
necessárias, a partir das operações
geométricas que a tomam como objeto. Esse
contínuo é independente de tais operações
porque é uma substância, porque é necessariamente
o que é e não pode ser diferente. A necessidade
intrínseca das definições e dos axiomas
e o caráter indispensável dos postulados
(que tampouco podem ser mudados) expressam,
no âmbito desta fase conceptual, a necessidade
do objeto da G., ou seja, do espaço. Este
tem essência necessária, cujos princípios expressam
as determinações imutáveis e cuja dedução
silogística põe em evidência as determinações
implícitas (mas igualmente necessárias).
A interpretação do espaço feita por Kant, como
"forma da intuição" ou "intuição pura", não
constitui (e nem Kant teve essa intenção)
uma inovação do conceito de geometria. Segundo
Kant, o espaço como intuição pura devia
exatamente servir para garantir à G. seu papel
de ciência que determina as propriedades
do espaço apriori, ou seja, independentemente
da experiência, e para garantir a tais propriedades
seu caráter apodítico, ou seja, sua necessidade
(Crít. R. Pura, § 3).
2 a A segunda fase conceptual da G. só começou
quando se realizou plenamente o significado
da descoberta das G. não-euclidianas.
O V postulado de Euclides provocara discussões
desde a Antigüidade. No séc. XVIII,
especialmente graças a Saccheri e de Lambert,
e nos primeiros decênios do séc. XIX, graças a
Legendre, essas discussões se acirraram, mas
não levaram a conclusões, porque se achou
absurdo admitir a possibilidade de uma G. diferente
da de Euclides. Só Gauss, Lobacevskij
e Bolyai reconheceram e puseram em prática
essa possibilidade. Em 1855, uma dissertação
de RIEMANN, Sobre as hipóteses que fundamentam
a G., mostrava como, com mudanças oportunas
no V postulado, seria possível obter não
só a G. de Euclides e a G. de Lobacevskij e
Bolyai, mas também uma terceira G. (que mais
tarde foi chamada de Riemann). O V postulado
de Euclides exige que só haja uma paralela
para uma reta dada; a G. de Lobacevskij e
Bolyai exige que haja infinitas paralelas para
uma reta dada. Riemann supôs que não houvesse
paralela nenhuma para uma reta dada, o
que produz uma G. simetricamente oposta à de
Lobacevskij e de Bolyai. A G. euclidiana é válida
para o espaço de curvatura constante nula.
A G. de Lobacevskij vale para o espaço de
curvatura constante negativa. A G. de Riemann
vale para o espaço de curvatura constante positiva.
Nesta última G., uma reta não pode ser
prolongada até o infinito, mas é finita e fechada,
e é a G. que vigora na superfície da esfera
(supondo-se que se considerem somente duas
dimensões), portanto o modo mais natural de
um navegador descrever o mundo. Assim, a
G. euclidiana tornava-se um caso particular de
uma G. bem mais ampla e geral, mas a verdadeira
significação dessa descoberta só ficou clara
alguns anos depois, em virtude do emprego
de um conceito que fora utilizado desde o início
pela chamada G. projetiva: o conceito de
transformação. A G. projetiva, cujas primeiras
menções se encontram nos trabalhos de Gaspard
Monge (1746-1818), introduzia uma nova
operação — a projeção —, que permite transformar
uma figura em outra, cujas propriedades
podem ser deduzidas das propriedades da
primeira. O caráter peculiar dessas propriedades,
como foi mostrado por Poncelet (Tratado